Nonobvious ejemplos de espacios métricos que no funcionan como $\mathbb{R}^n$

Question

Esta semana, he llegado al final del primer año de análisis, y sufren de una "crisis de motivación". Con esta pregunta, quiero ahuyentar mi pensamiento, "¿por Qué es importante el estudio de las propiedades generales de la métrica espacios? Es cada buen ejemplo sólo un subconjunto de $\mathbb{R}^n$?"

Voy a explicar. Durante muchas pruebas, imagino algo así como $\mathbb{R}^2$. El profesor siempre saca estas fotos:

Esto es bueno para muchos teoremas, ya que gran parte de los análisis es motivar a las cuestiones acerca de $\mathbb{R}^n$. Pero mi imagen mental está ahora a sólo $\mathbb{R}^n$. Para apreciar el estudio de la métrica de espacios en todos los casos, y para la intuición, puedo pedir más útil ejemplos de métricas espacios que son significativamente diferentes de $\mathbb{R}^n$, y no se contienen en $\mathbb{R}^n$.

Aquí, digo "útil" para significar que el ejemplo ", naturalmente, podría surgir en otro contexto", en matemáticas o en una aplicación. Se frustran cuando me pregunto por qué algunos bienes no retiene en general, y alguien me dice considerar la métrica discreta. Sí, es cierto, y es fácil de ver, pero el discreto métrica es estúpido. ¿Mi propiedad fallar en cualquier espacio métrico que a alguien le importa?

En otras palabras, tengo la siguiente taxonomía de métrica espacios:

• $\mathbb{R}^n$ y los subconjuntos

• degenerados ejemplos como el de la métrica discreta

• artificioso ejemplos que no me iba a ver, excepto en el análisis (me refiero a si son sólo existen para ser patológico, esto es donde pienso colocar el conjunto de Cantor)

Quiero ampliar esta taxonomía, así que cuando escucho la nueva definición o teorema, puedo comparar a esta colección de buenos ejemplos. Sé que debe haber ejemplos con intrincados e intuitiva interpretaciones en la estadística, la ciencia y la ingeniería.

Que la métrica de los espacios no son de mi mental taxonomía? En general, ¿cuáles son los útiles, no evidente métrica de espacios en los que un estudiante debe tener en su mente cuando el aprendizaje de análisis?

Para mí, la respuesta ideal incluye la descripción de la métrica del espacio, ¿qué propiedades tiene que ser único y diferente, algunas de las consecuencias de las propiedades que lo hacen diferente de mis ejemplos, y (si no obvio) donde pude encontrar el espacio métrico en la práctica.

Una última cosa es que estoy buscando específicamente para los ejemplos que son diferentes como métrica de los espacios, así que no hay equivalencia en $\mathbb{R}^n$ o de cualquiera de los subconjuntos o mis otros elementos de la lista. Me refiero a la isometría con la equivalencia, creo, pero tal vez para homeomorphism, yo no estoy segura de cómo hacer el mejor corte. Yo sólo soy unsatisfy para espacios que parecen demasiado parecido a lo que yo podría construir en $\mathbb{R}^n$ y uso en la práctica.

Answer 1

Buena pregunta. No estoy seguro de que este va a ser exactamente lo que quieres, pero vamos a ello: considerar $X = \{A,B,C,D\}$, y definir $d: X \times X \a \Bbb R$ poner $d(p,p) = 0$ para todo $p \in X$, $d(p,q) = d(q,p)$ para todo $p,q \in X$, y:

$$d(a,B) = d(a,C) = d(B,C) = 2, \qquad d(a,D) = d(B,D) = d(C,D) = 1.$$ Aquí, $1$ y $2$ son para la simplicidad (nota: $1 < 2$). Aquí una foto:

Me gusta pensar que este pequeño espacio es útil para convencer a mí mismo de que un resultado estoy viendo por primera vez es cierto.

Answer 2

Aquí hay uno que viene con bastante frecuencia. Considere la posibilidad de un gráfico de dólares(V,E)$ donde $V$ es el conjunto de vértices y $E$ el conjunto de aristas. Para dos vértices $v,w\V$ a definir $$ d(v,w) = \text{longitud de la ruta más corta entre}~v~\text{y}~w. $$ Usted puede verificar esto es una métrica bastante facilidad. Tiene aplicaciones en matemáticas discretas (donde puede que desee utilizar la métrica del espacio de propiedades para el estudio de un gráfico), que probablemente no es de extrañar. Lo que puede sorprender es que también tiene aplicaciones en teoría de grupos: uno puede representar a un grupo, mediante una representación gráfica (el grafo de Cayley) y, a continuación, esta métrica se define lo que es llamado la palabra de métrica en el gráfico. Este es uno de los temas que uno podría estudio geométrico teoría de grupos.

Answer 3

Creo completamente descartar subconjuntos de $\,\mathbb{R}^n$ pierde el punto.

Supongamos que usted tiene una superficie curva (por definición, sentado en un espacio de 3 dimensiones). Si usted desea permanecer dentro de él, como hacemos nosotros cuando teniendo en cuenta las grandes distancias que hay aquí en la tierra, no utilizamos el espacio ambiente métrica, sino más bien la arclength de la ruta más corta entre 2 puntos, llamados de la línea geodésica. Este espacio métrico puede ser muy diferente del espacio ambiental (por ejemplo, la esfera es compacto).

También, la razón de su profesor de dibujo es tan útil, porque esa es precisamente la idea de métrica espacios tratar de captura: son conjuntos de donde tenemos las herramientas para filtrar puntos con bolas de longitud arbitraria. Una vez que se identifica un problema puede ser expresada en el lenguaje de la métrica de los espacios, de nuestra experiencia con estos dibujos nos da instantáneo de la intuición, y nos permite hacer las preguntas correctas. En resumen lugares como espacios de funciones, es este tipo de "bola de razonamiento" que nos permite producir bellos teoremas como el de Stone-Weierstrass Teorema , incluso cuando puede ser difícil de visualizar lo que la bola de funciones parece.

Answer 4

Un importante conjunto de espacios que son fundamentales para el análisis son las $L^p$ espacios. Para cualquier número real $p \geq 1$, definimos $L^p$ a ser el conjunto de todos (es decir con un valor real) funciones $f$ que $$\int |f(x)|^p dx < \infty$$ donde la integral se toma sobre el dominio de interés, por ejemplo, $\mathbb{R}$.

Para una función $f \in L^p$, definimos la $L^p$ norma de $f$ a ser $$\|f\|_p = \left(\int |f(x)|^p dx\right)^{1/p}$$ y si $f,g \en L^p$, podemos definir la métrica (distancia) entre $f$ y $g$ a ser $$d_p(f,g) = \|f - g\|_p = \left(\int |f(x) - g(x)|^p dx\right)^{1/p}$$ Resulta que $d_p$ satisface la desigualdad de triángulo, que normalmente se denomina Minkowski de la desigualdad en este contexto. (Tenga en cuenta que la desigualdad de triángulo falla por $p < 1$, que es la razón por la restringimos nuestra atención a los $p \geq 1$.) También, claramente $d_p(f,g) = d_p(g,f)$ y $d_p(f,g) \geq 0$ para todo $f,g \en L^p$.

Un punto sutil es que $d_p$ no es una métrica, porque es posible tener $d_p(f,g) = 0$ para dos diferentes funciones $f$ y $g$. Sin embargo, si $d_p(f,g) = 0$, entonces $f$ y $g$ son "casi" iguales (se dice que son iguales en casi todas partes, o igual, excepto en un conjunto de medida cero). Así, con el entendimiento de que no hacemos una distinción entre las funciones que son casi iguales, $d_p$ es de hecho una métrica y por lo que $L^p$ es un espacio métrico.

La $L^p$ espacios son especialmente útiles, ya que no son meramente métrica espacios, pero también disfrutar de algunas otras buenas propiedades.

• La $L^p$ espacios completa: si $(f_n)$ es una secuencia de Cauchy de funciones en $L^p$, entonces $(f_n)$ converge a un límite de $f \in L^p$.
• La $L^p$ espacios normativa espacios vectoriales: se puede sumar y restar elementos (funciones) y multiplicar por escalares, y no hay una norma ("tamaño") $\|f\|_p$ asociadas con cada elemento. De hecho, cualquier normativa espacio vectorial es un espacio métrico si definimos la distancia entre dos elementos de $a$ y $b$ en términos de la norma: $d(a,b) = \|b\|$
• El caso especial de $L^2$ es esencialmente un infinito-dimensional analógica de la distancia euclídea: $\left(\int |f(x) - g(x)|^2 dx\right)^{1/2}$ es el continuo equivalente de la distancia euclidiana $\left(\sum_{n=1}^{N} |x_n - y_n|^2\right)^{1/2}$.
• También hay un producto interior en $L^2$, que se define por $\langle f,g\rangle = \int f(x) g(x) dx$ (suponiendo que el valor real de las funciones), que es análoga a la del producto escalar de $x \cdot y = \sum_{n=1}^{N}x_n y_n$. Podemos usar esto para extender la noción de ortogonalidad de las funciones de: $f,g \en L^2$ se dice que son ortogonales si $\langle f,g\rangle = 0$. La importante de Cauchy-Schwarz desigualdad se cumple en $L^2$, es decir $|\langle f,g\rangle| \leq \|f\|\|g\|$. Incluso podemos definir el ángulo entre dos funciones de forma análoga con el producto escalar: es decir, el valor de $\theta$ satisfacer $\langle f,g \rangle = \|f\|_2 \|g\|_2 \cos(\theta)$.

Answer 5

El discreto métrica no es tonto del todo, no sé por qué usted diría eso.
(No estoy bromeando, yo apuesto a que en el futuro se va a apreciar más y más :)

Tomar $\{0,1\}$, bueno, no hay mucha variedad, la métrica discreta, $d(0,1)=1$.

Ahora tome $\{0,1\}^\omega$ con la topología producto. Una buena métrica para es $d(\langle x_0,x_1,..\rangle,\langle y_0,y_1,..\rangle)=2^{-k}$ donde $k=\min\{m:x_m\not=y_m\}$. (Cierto que en esta definición no se realmente el uso de la métrica discreta, no necesito métrica en $\{0,1\}$, sino que estamos hablando, después de todo acerca de los contables poder de la discreta espacio topológico $\{0,1\}$, y es más natural pensar de $\{0,1\}$ como tener la métrica discreta.)

Por supuesto $\{0,1\}^\omega$ es homeomórficos para el conjunto de Cantor, pero, sin embargo, por encima de la métrica (diferente al heredado de la línea real) es interesante, ya que es no Arquímedes: dio ninguna de las dos bolas, que no se cruzan, o uno está contenido en el otro.

(El ejemplo anterior está estrechamente relacionado con el espacio de Baire como se usa en el descriptivo de conjunto de la teoría: Una métrica definida en una manera similar como en el anterior, pero en $\Bbb N^\omega$. Ver también esta relacionada con la respuesta.)