9 votos

Menor número de puntos en un plano que garantiza la existencia de un pequeño ángulo

¿Cuál es el menor número $n$, que en cualquier acuerdo de $n$ puntos en el plano, hay tres de ellos formando un ángulo de más de $18^\circ$?

Está claro que $n>9$, desde los vértices de un regular de 9-gon es un contraejemplo. Se puede demostrar usando el principio del palomar que $n\le 11$. Tomar un borde del casco convexo de los puntos. Todos los puntos se encuentran a un lado de esta línea. cortar la mitad de plano en 10 rebanadas de $18^\circ$ cada uno. No puede haber puntos en la primera y la última rebanada. Por lo tanto, por el principio del palomar algunos rebanada contiene más de un punto. Así que tenemos un ángulo de tamaño en la mayoría de las $18^\circ$.

Ahora, para $n=10$, no puedo venir para arriba con un contraejemplo ni una prueba de corrección. Alguna idea?

8voto

dagorym Puntos 2025

Hmm esto parece bastante complicado. Espero que haya una solución más simple.


Teorema. Para cualquier $n\ge3$ puntos en un plano 2D, siempre podemos encontrar 3 puntos $A,B,C$ tal que $\angle ABC\le\frac{180°}n$. (OP solución sigue con $n=10$.)

Prueba. Volvimos a tomar un borde de la convex hull y todos los puntos se encuentran en el otro lado de este borde. Digamos que los puntos de $A$ $B$ están en esta orilla.

                      8 points C...J above line AB

Partición de la mitad de plano en $n$ regiones sobre el punto de $A$. El nombre de cada región $A_1,\dotsc,A_n$, en un punto de $X$ dentro $A_i$$\frac{180°}n(i-1)<\angle XAB\le \frac{180°}n\cdot i$.

                      Partition half-plane into 10 regions

Hacer lo mismo sobre el punto de $B$. Esto creará $n$ región $B_1,\dotsc,B_n$, donde el punto de $X$$B_j$$\frac{180°}n(j-1)<\angle XBA\le \frac{180°}n\cdot j$.

Welp, a total mess

Si dos puntos de $X,Y$ puede ser encontrado en la misma región $A_i$, entonces también tenemos $\angle XAY \le \frac{180°}n$. Eso significa que sólo un punto puede existir en cada uno de la región de $A_i$ (hay $n-2$ $n-1$ válido regiones). Mismo para $B_j$.

$A_i$ $B_j$ pueden superponerse, aunque sólo al $i+j< n+2$ (a):

\begin{array}{c|ccccccc} & A_2 & A_3 & A_4 & \cdots & A_{n-2} & A_{n-1} & A_n \\ \hline B_2 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & ✓ & \color{red}{✓} & ✗ \\ B_3 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & \color{red}{✓} & ✗ & ✗ \\ B_4 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & ⋰ & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{n-2} & ✓ & \color{red}{✓} & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ B_{n-1} & \color{red}{✓} & ✗ & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ B_n & ✗ & ✗ & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ \end{array}

vemos enseguida que los puntos sólo pueden existir en las regiones superpuestas $A_i B_{n+1-i}$, para asegurar que no hay dos puntos de ocupar la misma columna ($A_i$) o en la misma fila ($B_j$).

Así que para cualquier $X$$A_i B_{n+1-i}$, tenemos:

\begin{align} \angle XAB &> \frac{180°}n(i-1) \\ \angle XBA &> \frac{180°}n(n-i) \\ \end{align}

Para el triángulo $\triangle ABX$, tenemos $\angle XAB + \angle XBA + \angle AXB = 180°$, lo que

$$ \angle AXB < 180° - \frac{180°}n(i-1) - \frac{180°}n(n-i) = \frac{180°}n. $$


Nota:

(a) si el punto de $X$ existe en $A_i$$B_j$$i+j\ge n+2$$$\angle XAB + \angle XBA > \frac{180°}n(i+j-2) \ge 180°,$$, que es imposible.

4voto

leviathan Puntos 5207

Supongamos que hay $10$ puntos. Vamos a poner el casco convexo de estos puntos. En la mayoría de los $10$ lados. Esto significa que debe tener un ángulo que es en la mayoría de las $180° - 360°/10 = 144°$. Escojamos el vértice correspondiente a dicho ángulo, como punto de $A$, y sus 2 vecinos puntos a lo largo de la convex hull como puntos de $B$$C$. En otras palabras, tenemos la situación de la foto aquí:

enter image description here

Ahora, de $7$ puntos dentro del ángulo $\angle CAB$ tracemos 7 líneas a punto de $A$. Este se divide el ángulo en 8 ángulos más pequeños, y uno de ellos será en la mayoría de las $144°/8 = 18°$.

Por lo tanto, ya no es un contraejemplo para $n=9$ (regular 9-gon), la respuesta es

$$n=10$$


$$GENERALIZATION$$

El menor número $n$, que en cualquier acuerdo de $n$ puntos en el plano, hay tres de ellos formando un ángulo de más de $180°/k$$$n=k$$.

La prueba es prácticamente el mismo que para el caso de $k=10$.

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