Menor número de puntos en un plano que garantiza la existencia de un pequeño ángulo

Question

¿Cuál es el menor número $n$, que en cualquier acuerdo de $n$ puntos en el plano, hay tres de ellos formando un ángulo de más de $18^\circ$?

Está claro que $n>9$, desde los vértices de un regular de 9-gon es un contraejemplo. Se puede demostrar usando el principio del palomar que $n\le 11$. Tomar un borde del casco convexo de los puntos. Todos los puntos se encuentran a un lado de esta línea. cortar la mitad de plano en 10 rebanadas de $18^\circ$ cada uno. No puede haber puntos en la primera y la última rebanada. Por lo tanto, por el principio del palomar algunos rebanada contiene más de un punto. Así que tenemos un ángulo de tamaño en la mayoría de las $18^\circ$.

Ahora, para $n=10$, no puedo venir para arriba con un contraejemplo ni una prueba de corrección. Alguna idea?

Answer 1

Hmm esto parece bastante complicado. Espero que haya una solución más simple.

---

Teorema. Para cualquier $n\ge3$ puntos en un plano 2D, siempre podemos encontrar 3 puntos $A,B,C$ tal que $\angle ABC\le\frac{180°}n$. (OP solución sigue con $n=10$.)

Prueba. Volvimos a tomar un borde de la convex hull y todos los puntos se encuentran en el otro lado de este borde. Digamos que los puntos de $A$ $B$ están en esta orilla.

                     

Partición de la mitad de plano en $n$ regiones sobre el punto de $A$. El nombre de cada región $A_1,\dotsc,A_n$, en un punto de $X$ dentro $A_i$$\frac{180°}n(i-1)<\angle XAB\le \frac{180°}n\cdot i$.

                     

Hacer lo mismo sobre el punto de $B$. Esto creará $n$ región $B_1,\dotsc,B_n$, donde el punto de $X$$B_j$$\frac{180°}n(j-1)<\angle XBA\le \frac{180°}n\cdot j$.

Si dos puntos de $X,Y$ puede ser encontrado en la misma región $A_i$, entonces también tenemos $\angle XAY \le \frac{180°}n$. Eso significa que sólo un punto puede existir en cada uno de la región de $A_i$ (hay $n-2$ $n-1$ válido regiones). Mismo para $B_j$.

$A_i$ $B_j$ pueden superponerse, aunque sólo al $i+j< n+2$ ^(a):

\begin{array}{c|ccccccc} & A_2 & A_3 & A_4 & \cdots & A_{n-2} & A_{n-1} & A_n \\ \hline B_2 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & ✓ & \color{red}{✓} & ✗ \\ B_3 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & \color{red}{✓} & ✗ & ✗ \\ B_4 & ✓ & ✓ & ✓ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & ⋰ & \vdots & \vdots & \vdots \\ B_{n-2} & ✓ & \color{red}{✓} & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ B_{n-1} & \color{red}{✓} & ✗ & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ B_n & ✗ & ✗ & ✗ & \cdots & ✗ & ✗ & ✗ \\ \end{array}

vemos enseguida que los puntos sólo pueden existir en las regiones superpuestas $A_i B_{n+1-i}$, para asegurar que no hay dos puntos de ocupar la misma columna ($A_i$) o en la misma fila ($B_j$).

Así que para cualquier $X$$A_i B_{n+1-i}$, tenemos:

\begin{align} \angle XAB &> \frac{180°}n(i-1) \\ \angle XBA &> \frac{180°}n(n-i) \\ \end{align}

Para el triángulo $\triangle ABX$, tenemos $\angle XAB + \angle XBA + \angle AXB = 180°$, lo que

$$ \angle AXB < 180° - \frac{180°}n(i-1) - \frac{180°}n(n-i) = \frac{180°}n. $$

---

Nota:

(a) si el punto de $X$ existe en $A_i$$B_j$$i+j\ge n+2$$$\angle XAB + \angle XBA > \frac{180°}n(i+j-2) \ge 180°,$$, que es imposible.

Answer 2

Supongamos que hay $10$ puntos. Vamos a poner el casco convexo de estos puntos. En la mayoría de los $10$ lados. Esto significa que debe tener un ángulo que es en la mayoría de las $180° - 360°/10 = 144°$. Escojamos el vértice correspondiente a dicho ángulo, como punto de $A$, y sus 2 vecinos puntos a lo largo de la convex hull como puntos de $B$$C$. En otras palabras, tenemos la situación de la foto aquí:

Ahora, de $7$ puntos dentro del ángulo $\angle CAB$ tracemos 7 líneas a punto de $A$. Este se divide el ángulo en 8 ángulos más pequeños, y uno de ellos será en la mayoría de las $144°/8 = 18°$.

Por lo tanto, ya no es un contraejemplo para $n=9$ (regular 9-gon), la respuesta es

$$n=10$$

---

$$GENERALIZATION$$

El menor número $n$, que en cualquier acuerdo de $n$ puntos en el plano, hay tres de ellos formando un ángulo de más de $180°/k$$$n=k$$.

La prueba es prácticamente el mismo que para el caso de $k=10$.