¿Por qué es $-145 \mod 63 = 44$ ?

Question

Cuando entre $-145 \mod 63$ en google y algunas otras calculadoras, obtengo $44$ . Pero cuando intento calcularlo a mano me sale que $-145/63$ es $-2$ con un remanente de $-19$ . Esto tiene sentido para mí, porque $63\cdot (-2) = -126$ y $-126 - 19 = -145$ .

Entonces, ¿por qué las calculadoras dan que la respuesta es $44$ ?

Answer 1

Creo que hay que empezar con la pregunta más básica: "¿Qué hace $\text{mod}$ significa?"

Cuando decimos " $\pmod{63}$ "lo que realmente queremos decir es: Imagina que la "línea numérica" está doblada en un círculo de manera que al contar hacia arriba, después de golpear $62$ se vuelve a $0$ . En dicho "círculo numérico", los números $5,68, 131, 194, \dots$ son todos iguales entre sí. Y también se puede contar hacia abajo: $68, 5, -58, -121, \dots$ también son todos iguales.

Es común interpretar $a \pmod{63}$ para significar "Encuentra el número entre $0$ y $62$ que es igual a $a$ , mod. $63$ ." Siempre se puede encontrar un número de este tipo sumando o restando repetidamente 63 a su número dado hasta que lo sitúe en el rango deseado.

En este caso, $-145 = -82 = -19 = 44 = 107 = \dots$ . El único resultado que se encuentra entre $0$ y $62$ es $44$ .

Sin embargo, tenga en cuenta que no se equivoca al pensar que $-145 \pmod{63} = -19$ . Cuando se trabaja mod $63$ los números $-19$ y $44$ son idénticos.

Answer 2

Positivo $145$ dividido por $63$ es $2$ con un remanente de $19$ ya que $145=(2)63+19$ .

Sin embargo, $-145$ dividido por $63$ es $-3$ con un remanente de $44$ ya que $-145=(-3)63+44$ .

Los restos deben ser positivos. W $63$ están entre $0$ y $62$ inclusive.

Answer 3

Nosotros decimos $a \equiv b$ (mod n) si $a-b$ es un múltiplo de $n$ . Así que fíjate en eso:

$$-145-44 = -189 = -3(63)$$

Answer 4

A=b (mod c) si c|(a-b)

En tu caso 63|(-145-44)

Answer 5

Algunos cálculos con aritmética modular: $$-145\equiv_{63}-145+63\cdot3\equiv_{63}-145+189\equiv_{63}44\equiv_{63}44-63\equiv_{63}-19$$