En el cómputo de las funciones de partición de los sistemas clásicos de con $N$ de las partículas con una determinada Hamiltonianos $H$ he visto algunos lugares de la escritura como
$$Z = \dfrac{1}{h^{3N} N!}\int e^{-\beta H(p,q)}dpdq$$
donde la integral es sobre la disposición del espacio de fase. Ahora, en mi libro no hay este factor $1/h^{3N} N!$. Donde este factor viene de? ¿Por qué tenemos que incluir ahí?
El factor de $1/h^{3N}$ total hack. La integral sobre el espacio de fase tiene dimensiones, mientras que $Z$ sólo tiene sentido si es adimensional. El $h$ factores que están allí para hacer $Z$ adimensional. Supongamos que tenemos un sistema con sólo una partícula en una dimensión. Entonces la integral en el espacio de fase pasa de una posición variable, $dq$ y un impulso variable $dp$. Las dimensiones de posición tiempos de impulso, es decir,$dpdq$, se denomina acción.$^{[a]}$ Así, para hacer $Z$ adimensional en el de una partícula caso unidimensional, usted tiene que dividir por algo con dimensiones de la acción. La constante de Planck es perfectamente aceptable opción debido a que pasa a tener dimensiones de la acción.$^{[b]}$ Sin embargo, tanto como que es aceptable que también es totalmente arbitrario y debe hacer que usted muy sospechoso que alguien está tratando de engañar o no explicar lo que realmente está pasando.
Ahora, si usted va a las tres dimensiones de la integral sobre el espacio de fase tiene tres factores de longitud y tres factores de impulso. Por lo tanto, las dimensiones de la integral se $\text{action}^3$. Para deshacerse de esas dimensiones se divide por $h^3$.
Cuando usted tiene $N$ de las partículas tiene $N$ integrales y por lo que ha $3N$ poderes de $h$.
La cosa es que,cuando realmente vienen abajo, $Z$ en realidad no tiene que ser adimensional. Cada vez que calcular nada físico que terminan dividiendo $Z$ por sí mismo. Supongamos que definimos $Z$ sin $h$ factores (y sin el $N$ factores por ahora): $$Z \equiv \int e^{-\beta H(q,p)}\,dqdp \, .$$ Considerar el promedio de energía del sistema \begin{align} \langle H \rangle &= \frac{1}{Z} \int H(p,q) e^{-\beta H(q,p)} \, dqdp \\ &= \frac{1}{Z} \int - \frac{d}{d\beta} e^{-\beta H(q,p)} \, dqdp \\ &= - \frac{1}{Z} \frac{d}{d\beta} \int e^{-\beta H(q,p)} \, dqdp \\ &= - \frac{1}{Z} \frac{dZ}{d\beta} \, . \end{align} Las dimensiones de $Z$ cancelar! Esto siempresucede. Así, en la física clásica, la $h$ factores que se utilizan para quitar las dimensiones de $Z$ realmente no necesita estar allí.
Lo mismo sucede cuando se trata de la entropía. En primer lugar, parece que se ha equivocado de dimensiones porque es el logaritmo de la disposición del espacio de fase de volumen. Si el espacio de fase de volumen tiene dimensiones usted no puede tomar el registro! Pero cuando te das cuenta de que sólo los ratios de disponibilidad de espacio de fase volúmenes, y por lo tanto las diferencias en la entropía que en realidad significa nada en un sistema clásico, ya no es un problema.$^{[c]}$
El $N$ que es el factor más interesante. En primer lugar, usted necesita entender el Gibb de la paradoja. La idea básica es que si pongo un divisor en el medio de un cuadro de moléculas de gas, corté las posiciones disponibles de cada uno en la mitad, por lo que la entropía parece reducirse. Piense en ello como esto: hay menos maneras posibles para que el sistema se pueda arreglar si puedo añadir que el divisor, debido a que la molécula $A$ está restringido a la mitad de la caja. El problema es que ahora me violado la 2ª ley de la termo por la reducción de la entropía.
Dividiendo $Z$ $N!$ correcciones de este. El número de $N!$ es el número de maneras en que un conjunto de $N$ cosas pueden ser permutados entre sí. Así, dividiendo $Z$ $N!$ está diciendo básicamente para el tratamiento de los estados relacionadas con el intercambio de moléculas entre sí como el mismo estado. Eres de la onu-el recuento de los estados los cuales están relacionados por la partícula de intercambio. Otra forma de decir esto es decir que eres el tratamiento de las partículas como "indistinguible" debido a una situación de partículas $A$ en el estado 1 y la partícula $B$ en el estado 2 es la misma que la partícula $A$ en el estado 2 y de partículas $B$ en el estado 1. Una mejor manera de decir esto es que la noción de $A$ $B$ no tiene significado, y en su lugar debe decir "el número de partículas en el estado 1 es 1 y el número de partículas en el estado 2 es 1".
Este indistinguishibility es realmente extraño en el contexto de la mecánica clásica. De donde provienen? ¿Por qué no podemos hablar de dos moléculas de como tener su propia identidad? Las respuestas provienen de la mecánica cuántica, donde se busca que "partículas" son realmente el mejor pensamiento de como excitaciones de los modos.
Te recomiendo la lectura de este otro de la Física.SE post.
$[a]$: La unidad del SI de la acción es el Joules por segundo. Usted puede pensar que como un impulso veces la longitud, como vimos con $dqdp$, o una energía tiempos de un tiempo.
$[b]$: Por supuesto, esto no es un accidente, pero ya no estamos realmente hablando de la mecánica cuántica aquí no me meto en ella.
$[c]$: Si alguien quiere señalar que esto es incorrecto, por favor!
Para el $h$ factor: ($N!$es la de Gibbs de corrección como ya se ha explicado por otros )
Paso 1: Semi-configuración clásica
El $h$ factor de realidad puede ser entendida en un semiclásica. Estamos hablando de la clásica idea de gas utilizando clásico espacio de fase de la formulación clásica de la mecánica estadística, pero de un semi-clásico punto de vista no somos capaces de identificar exactamente cada punto en el espacio de fase, simplemente debido a la incertidumbre de la relación: $\Delta p \Delta q \sim h$. (De hecho, aparte de esto, también hemos utilizado cuantificado los niveles de energía para el clásico de gas ideal en un cuadro como otra parte de la semi-clásica de enfoque). Básicamente, esto significa que cada fase de manera efectiva ocupa algunos de pequeño volumen, $w_0$ en el espacio de fase, que es el fundamental de volumen por algunos autores. Si podemos de alguna forma de averiguar $w_0$, entonces el número total de la correspondiente fase de puntos acaba de ser $\Omega =\Gamma /w_0$ donde $\Gamma$ denota la fase total del volumen de espacio para algunas muy pequeñas de energía rango de $(E,E+\Delta)$.
Paso 2: Fundamental volumen $w_0$ definido en microcanonical conjunto
Tenga en cuenta que la razón de un rango de energía que se utiliza es el de que si la energía está en un valor fijo, entonces el correspondiente espacio de fase sólo sería una hipersuperficie con un volumen de 0, y la razón por la que la gama es el elegido para ser pequeño es que todavía vamos a ser capaces de trabajar en la microcanonical conjunto, donde cada microestado es igualmente probable, lo que valida la introducción de los principios fundamentales de volumen. (lo que significa que se necesita un uniforme en el espacio de fase de la densidad de tener el mismo $w_0$ durante toda la fase de puntos)
Ahora para el sistema con $N$ de las partículas, el espacio de fase de volumen puede ser calculado como $$\Gamma = \frac{1}{N!}\int_{E\leq \sum_i {p_i}^2/2m \leq E+\Delta} dpdq=\frac{\Delta}{E}\frac{(2\pi mE)^{3N/2}V^N}{(3N/2-1)!N!}$$ Por otro lado, el uso de la convencional $N$-partícula en una caja con el total de energía que varían de $E$$E+\Delta$, se puede calcular el número total de microstates a ser $$\Omega=\frac{\Delta}{E}\frac{(2\pi mE)^{3N/2}V^N}{(3N/2-1)!N!h^{3N}}$$ En consecuencia, la fundamental volumen vendrá dado por $$w_0=\frac{\Gamma}{\Omega}=h^{3N}$$ es decir, la fundamental volumen será diferente para el espacio de fase de las diferentes dimensiones.
Paso 3: a partir De microcanonical multiplicidad $\Omega$ a la función de partición canónica $Z$
Función de partición es sólo la suma sobre los estados. En el caso discreto (incluyendo la degeneración): $$Z=\frac{1}{N!}\sum_E g(E)e^{-\beta E}=\frac{1}{N!}\sum_{p,q}e^{-\beta H(p,q)}$$
Cuando se va desde el discreto suma a la integración continua, tenemos que tener en cuenta el número de microstates (o, equivalentemente, de la fase de puntos) contenida en un pequeño espacio de fase de volumen $dqdp$ alrededor de la fase de punto de $(p,q)$. A continuación, inmediatamente hacemos $$\sum_{p,q} = \int \frac{dpdq}{w_0} = \int \frac{dpdq}{h^{3N}}$$ después de lo cual podemos fácilmente obtener el deseado de forma integral para la función de partición: $$Z=\frac{1}{N!h^{3N}}\int e^{-\beta H(p,q)}dqdp$$
Ahora, en mi libro no hay este factor $1/h^{3N} N!$. Donde este factor viene de? ¿Por qué tenemos que incluir ahí?
$\mathbf{1/h^{3N}}~$:
Algunas personas, como el valor de la partición integral para ser independiente de las unidades, por lo que añadir el denominador $h^{3N}$ la fórmula: donde: $h$ tiene las mismas unidades que $pq$. Esto hace que la expresión adimensional.
Sin embargo, esto no tiene ninguna consecuencia para los significativos resultados de los cálculos basados en esta fórmula. Por ejemplo, la distribución de probabilidad de las velocidades de las partículas de los gases ideales (la de Maxwell-Boltzmann distribución) puede ser derivada con la ayuda de la expresión anterior para $Z$, si el denominador $h^{3N}$ es utilizado o no; el resultado de la distribución no depende de $h$ (véase también Daniel se Hundió la respuesta). En consecuencia, $h$ se le puede asignar cualquier valor.
Desde Planck introdujo la cantidad de las mismas dimensiones (constante de Planck $h_{Planck}=$6.6 E-34 J. s), las personas tienden naturalmente a poner Planck$h_{Planck}$$h$.
Otra razón para el uso de la $h$-dependiente denominador es la idea de que el espacio de fase es un concepto erróneo y debe ser utilizado sólo como una primera aproximación de la herramienta para evaluar el número de estados discretos. Este número es, a menudo se estima como la $(phase~space~volume)/h^{3N}$ (la última expresión general número real valor, por lo que es sólo una estimación de la cuenta, la cual debe ser número natural). Valor de $h$ tiene algunas consecuencias importantes en cuántica, física estadística, creo - Jaynes menciona químicas constantes.
Nunca he encontrado este procedimiento de los imaginarios de la fase de las células para ser convincente y confiable - puede funcionar en algunos casos, pero en su núcleo, parece una mezcla de dos cosas que son demasiado diferentes a jugar juntos (distribuciones en el espacio de fase y la idea de estados discretos).
Buena lectura con algunas informaciones relacionadas (de la sección 9.):
Ahora, en mi libro no hay este factor $1/h^{3N} N!$. Donde este factor viene de? ¿Por qué tenemos que incluir ahí?
$\mathbf{1/N!}~$:
Hay dos básicas, pero los diferentes conceptos de la $Z$. La primera es la función de partición clásica de la física estadística:
$$ Z_{int} = \int dq_1...dq_N \int dp_1 ... dp_N~e^{-\beta H(\mathbf q,\mathbf p)}. $$
No es $h$ e no $N!$. El significado de $Z_{int}$ es que es el factor de normalización en la fórmula de la densidad de probabilidad en el espacio de fase:
$$ \rho(\mathbf q,\mathbf p) = \frac{e^{-\beta H(\mathbf q,\mathbf p)}}{Z_{int}}. $$
El otro significado es que el $Z$ es una suma sobre todos los distintos estados discretos $k$ con energía $\epsilon_k$:
$$ Z_{suma} = \sum_k e^{-\beta \epsilon_k}. $$ No es $h$ e no $N!$ aquí tampoco. Esta segunda fórmula es a menudo más fácil trabajar con.
Hay una opinión de que la primera fórmula $Z_{int}$ es deficiente en que cuando se discretiza por lo que se calcula una suma en lugar de una integral, se cuenta con los estados de las relacionadas con el sistema mediante la permutación de las partículas de los estados en la secuencia 1,...,N $N!$ veces. Desde el punto de vista que se refiere a estos como el mismo estado del sistema, se debe, según este punto de vista, se contabiliza una sola vez en la fórmula $Z_{sum}$. Por lo tanto el factor de modificación de $1/N!$ es añadido a la integral, para suprimir la contribución de la superfluo permutaciones.
Esto está conectado a cambio de la fórmula estadística para la entropía. Con el fin de preservar la relación
$$ Z= e^{-\beta (U - TS)} $$
si $Z$ cambios $Z'=Z/N!$, también una cierta cantidad de la derecha tiene que cambiar. Esta cantidad es la entropía, que los cambios en $S'=S-k_B\ln N!$, de modo que la relación
$$ Z' = e^{-\beta (U - TS')} $$ sostiene. Si se utiliza $Z,S$ o $Z',S'$, los resultados de los cálculos son los mismos. Sin embargo, si la conexión a los convenios de la termodinámica, $S'$ está más cerca de la termodinámica la entropía $S_{th}$, debido a que ambos son aditivos. La entropía basado en la fórmula
$$ Z= e^{-\beta (U - TS)} $$ (con $Z$ suma incluyendo todas las permutaciones sin reducción) no es aditivo.
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