unpointed marrón teorema de representabilidad

Question

El clásico Marrón Teorema de Representabilidad de los estados: Denotar $hCW_*$ el homotopy categoría de punta CW-complejos. Deje $F : hCW_* \to Set_*$ ser un functor contravariante. A continuación, $F$ es representable si y sólo si

• $F$ respeta co-productos, es decir, $F(\vee_{i \in I} X_i) = \prod_{i \in I} F(X_i)$ para todas las familias $X_i$ de punta CW-complejos.
• $F$ satisface una especie de mayer-vietoris-axioma: Si $X$ es la punta de CW-complejo, que es la unión de dos señalado subcomplejos $A,B$, luego de la canónica de mapa de $F(X) \to F(A) \times_{F(A \cap B)} F(B)$ es surjective¹.

¿Qué acerca de la omisión de la base de puntos? Así que vamos a $F :hCW \to Set$ ser un functor contravariante que satisface las propiedades análogas como el anterior (vuelva a colocar la cuña de la suma por la inconexión de la unión). Es entonces $F$ representable? No estoy seguro de si se puede copiar la prueba de la punta de caso (que se puede encontrar, por ejemplo, en Switzer del libro "Topología Algebraica - Homología y Homotopy", la Representabilidad Teoremas). Por ejemplo, $F(pt)$ puede ser cualquier cosa (en contraste con el señalado caso), será el conjunto de componentes de la ruta en la clasificación de espacio. Además, la prueba utiliza homotopy grupos y, en particular, el famoso teorema de Whitehead, que tratan con la punta de CW-complejos. Sin embargo, tengo la esperanza de que $F$ es representable ... ¿qué te parece?

Como primer paso, se puede definir, para cada $i \in F(pt)$ el subfunctor $F_i$$F$$F_i(Y) = \{f \in F(Y) : \forall y : pt \to Y : f|_{y} = i \in F(pt)\}$, que debe ser pensado como el componente conectado asociados a $i$. Entonces no es difícil mostrar que $F_i$ satisface las mismas propiedades como $F$ y $F_i = [-,X_i]$ implica $F = [-,\coprod_i X_i]$. En otras palabras, podemos suponer que la $F(pt)=pt$ (de modo que la clasificación de espacio estará conectado).

¹ Usted no puede esperar a ser bijective, cf. pregunta sobre categórica homotopy colimits

Answer 1

Esto es una copia de mi respuesta a Brown de representatividad para los no-espacios conectados que puedo volver a publicar aquí por petición en el comentario.

Una respuesta negativa a la pregunta puede ser la conclusión de este trabajo:

Freyd, Pedro; Heller, Alex División homotopy idempotents. II. J. Pure Appl. Álgebra 89 (1993), no. 1-2, 93-106.

Este trabajo presenta una noción de conjugacy idempotente. Es un triple $(G, g, b)$ consiste de un grupo de $G$, un endomorfismo $g \colon G \to G$ y un elemento $b \in G$ tal que para todos los $x \in G$ tenemos $g^2(x) = b^{-1} g(x) b$. La teoría de la conjugacy idempotents puede ser axiomatized por medio de ecuaciones, por lo que hay una inicial conjugacy idempotente $(F, f, a)$. El Principal Teorema del papel que dice (entre otras cosas) que $f$ no se divide en el cociente de la categoría de grupos por parte de los conjugacy de congruencia.

Ahora $f$ induce un endomorfismo $B f \colon B F \to B F$ que es un idempotente en $\mathrm{Ho} \mathrm{Top}$, y de la manera sig (por el Principal Lema de la de papel) que no dividida. Es entonces fácilmente la conclusión de que $(B f)_+ \colon (B F)_+ \to (B F)_+$ no dividida en $\mathrm{Ho} \mathrm{Top}_*$.

El mapa de $(B f)_+$ induce un idempotente de lo representable functor $[-, (B F)_+]_*$ que separan ya que este es un $\mathrm{Set}$ valorado functor. Deje $H \colon \mathrm{Ho} \mathrm{Top}_*^\mathrm{op} \to \mathrm{Set}$ será la resultante de retractarse de $[-, (B F)_+]_*$. Es la mitad exacta (es decir, satisface la hipótesis de Brown de la Representabilidad) como un retractarse de una media exacta functor. Sin embargo, no es representable desde una representación podría proporcionar una separación de $(B f)_+$.

El mismo argumento con $B f$ en lugar de $(B f)_+$ muestra el fracaso de Brown de Representatividad en la unbased caso.

Answer 2

Una respuesta a esta se inicia en Boardman la estabilidad de las Operaciones en Generalizada Cohomology (Manual de Topología Algebraica, también disponible a través de Steve Wilson de la página de inicio (Wilson y Boardman - junto con Johnson - cowrote el documento de seguimiento en el mismo volumen). Teorema 3.6 estados:

Deje $h(-)$ ser una enseñanza cohomology la teoría como en el anterior [las mismas condiciones como en la pregunta, salvo que aterriza en abelian grupos]. Entonces:
(a) $h(-)$ está representado en $\operatorname{Ho}$ [homotopy categoría de espacios homotopy equivalente a CW-complejos] por una $H$espacio $H$, con un universal de la clase $\iota \in h(H,o) \subset h(H)$ lo que induce un isomorfismo $\operatorname{Ho}(X,H) \cong h(X)$ de abelian grupos por $f \mapsto h(f)i$ todos los $X$;
(b) Para cualquier cohomology teoría de la $k(-)$, las operaciones de $\theta : h(-) \to k(-)$ corresponden a elementos $\theta \iota \in k(H)$.

La prueba dada depende de las referencias, que es la razón por la que digo que la respuesta es "iniciado" en este documento. El argumento va:

1. Brown representatividad da una base conectada espacio de representación de $h(-,o)$ sobre la base de espacios conectados.
2. West muestra que $h(-,o)$ está representado en la base de todos los espacios (es decir, gotas conectado asunción).
3. A continuación, el "distinto punto de base" truco representa el $h(-)$ en todos los espacios.

Ahora que la miro, la esencia de la "distinto punto de base" truco probablemente no necesita la suposición adicional de que el functor de aterrizaje en abelian grupos, ya que utiliza la división de corta secuencia exacta

$$ 0 \h(X,o) \a h(X) \a h(s) \a 0 $$

relacionar relativa y absoluta cohomology. Por lo tanto $h(X) \cong h(X^+,o)$.

Así, por abelian grupos, entonces usted está bien. Es necesario que la tierra en Conjunto?

Answer 3

Sí, Marrón representatividad tiene para tales functors. No hay realmente ningún material diferencias entre esta y la prueba de Brown de representatividad en el señalado caso.

EDIT: Mi versión anterior de este no era lo suficientemente riguroso. Yo estaba tratando de ser inteligente y salirse con la simple célula de archivos adjuntos, que sólo puede funcionar si usted ya sabe que el functor es representado por un espacio. Perdón por la demora en la reparación, pero ésta en particular la prueba tiene la suficiente información que se necesita tiempo para escribir.

Como usted dice, que comienzan por la descomposición de tales functors así que sin pérdida de generalidad $F(pt)$ es un único punto.

Empezar con $X_{-1}$ como un punto. Suponga que usted ha inductivamente construido un $(n-1)$-dimensiones complejas $X_{n-1}$ con un elemento $x_{n-1} \in F(X_{n-1})$, de modo que, para todos los CW-inclusiones $Z \to Y$ finito de CW complejos con $Y$ formado por adjuntando $k$-celda para $k < n$, el mapa $$ [Y,X_{n-1}] \[Z,X_{n-1}] \times_{F(Z)} F(Y) $$es surjective.

Ahora, definir un "problema" de la dimensión $n$ a ser un CW-inclusión $Z \to Y$ donde $Y$ es un subespacio de $\mathbb{R}^\infty$ formado por adjuntando una sola $n$-cell $Z$, junto con un elemento de $$ Mapa(Z,X_{n-1}) \times_{F(Z)} F(Y). $$ El hecho de que $Y$ tiene un fijo de la incrustación en el $\mathbb{R}^\infty$ significa que existe un conjunto de problemas $S$, cuyos elementos son las tuplas $(Z_s,Y_s,f_s,y_s)$ $f_s$ un mapa de $Z_s \to X_{n-1}$ $y_s$ es compatible elemento de $F(Y)$.

Deje $X_n$ ser el pushout del diagrama $$ X_{n-1} \leftarrow \coprod_{s \in S} Z_s \rightarrow \coprod_{s \in S} Y_s $$ donde la izquierda mapas son definidos por los mapas de $f_s$ y el de la derecha mapas se la da $CW$-inclusiones. Este es un pariente $CW$-inclusión formado por adjuntando una colección de $n$-de las células; por lo tanto, $X_n$ todavía tiene la extensión de la propiedad relativa de inclusiones celulares de dimensión menor que $n$.

El espacio de $X_n$ es homotopy equivalente a la homotopy pushout del diagrama, el cual está formado por pegando la asignación de los cilindros. Específicamente, $X_n$ es débilmente equivalente al espacio $$ X_{n-1} \times \{0\} \cup (\coprod_S Z_s \times [0,1]) \cup (\coprod_S Y_s \times \{1\}) $$ que se descompone en dos CW-subcomplejos: $$ A = X_{n-1} \times \{0\} \cup (\coprod Z \times [0,1/2]) $$ que la deformación se retrae a $X_{n-1}$, y $$ B = (\coprod Z_s \times [0,1/2]) \cup (\coprod Y_s \times \{1\}) $$ que la deformación se retrae a $\coprod Y_s$ con intersección $A \cap B \cong \coprod Z_s$. El de Mayer-Vietoris de la propiedad y el subproducto axioma, a continuación, implica que hay un elemento $x_n \in F(X_n)$ cuya restricción a $A$ $x_{n-1}$ y cuya restricción a$B$$\prod y_s$.

Tomando colimits, tiene un CW-complejo de $X$ con un elemento $x \in F(X)$ (construido mediante una asignación telescopio + Mayer-Vietoris argumento), de modo que, para todos los CW-inclusiones $Z \to Y$ obtenido por la fijación de una sola célula, el mapa $$ [Y,X] \[Z,X] \times_{F(Z)} F(Y) $$ es surjective.

Ahora usted necesita mostrar que para cualquier finito CW-complejo $K$, $[K,X] \to F(X)$ es un bijection.

En primer lugar, surjectivity es sencillo por inducción sobre el skeleta de $K$. Más específicamente, para cualquier $K$ con subcomplejo $L$, elemento de $F(K)$, y el mapa de $L \to X$ darse cuenta de que la restricción $F(L)$, se introducirá en las células de $K\setminus L$. Entonces, de inyectividad: si usted tiene dos elementos $K \to X$ con las mismas imágenes en $F(K)$, utilice el arriba probado más fuerte surjectivity de la propiedad para la inclusión $K \times \{0,1\} \to K \times [0,1]$ a mostrar que hay una homotopy entre dichos mapas.