Supongamos que $f$ es diferenciable en $a$ es decir $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)} {x-a}$ existe. Me pregunto si es necesariamente cierto que
$$\lim_{\substack{x,y\to a\\x\neq y}}\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \tag{1}$$ existe y equivale a lo mismo. Creo que mis amigos y yo hemos encontrado un contraejemplo, que pondré debajo del pliegue.
Creo que hemos encontrado algunas condiciones bajo las cuales (1) debe existir e igual $f'(a)$ y me pregunto si alguien tiene otros:
- Si $x$ y $y$ se acercan desde lados opuestos de $a$ , entonces afirmo que la línea secante de $x$ a $y$ tiene una pendiente entre la pendiente del línea secante de $x$ a $a$ y la pendiente de la recta secante de $y$ a $a$ . (Haz un dibujo.) Por lo tanto, un contraejemplo sólo puede venir donde $x$ y $y$ no se acerque $a$ desde diferentes lados.
- ( Equivocado ) Tenga en cuenta que si $a,b\geq 0$ y $c,d>0$ entonces $\frac{a+c}{b+d}$ es entre $\frac{a}{c}$ y $\frac{b}{d}$ . Así que, asumiendo que $x$ y $y$ se acercan por el mismo lado, si $f(x)-a$ y $f(y)-a$ tienen el mismo signo en una vecindad de $a$ entonces (1) debe existir y ser igual a $f'(a)$ . Así que un contraejemplo sólo puede venir cuando para todos $\delta>0$ , $f(x)-f(a)$ es tanto positivo como negativo en $(a,a+\delta)$ o en $(a-\delta, a)$ . A partir de la definición de la derivada, esto también muestra que un contraejemplo sólo puede venir cuando $f'(a)=0$ . Editar: TonyK ha señalado que estoy en un error.
Uno de mis amigos conjeturó que si $f$ fueran rectificables, entonces no puede existir un contraejemplo. ¿Alguien tiene alguna idea sobre esto?
Contraejemplo. Supongamos que $$f:x\mapsto \begin{cases}x^2\sin \left( 1/x \right) & x \neq 0 \\ 0 & x=0.\end{cases}$$
$f$ es diferenciable en cero con $f'(0)=0.$ Toma $x_n$ y $y_n$ para ser picos y valles adyacentes: $$x_n := \frac1{\pi/2 + 2\pi n}\\ y_n := \frac1{3\pi/2 + 2\pi n}.$$
$x_n$ y $y_n$ se reduce a cero a medida que $n\to \infty$ . Entonces reclamo $$\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n} \xrightarrow{n\to\infty}\frac2\pi \neq f'(0)$$
