"Un caballero nunca elige una base".

Question

Alrededor de estas piezas, el aforismo "un caballero nunca elige una base," se ha convertido en popular.

¿Hay una forma caballerosa para demostrar que el mapa natural de V a V^* es sobreyectiva si V es finito dimensionsal?

Como en la vida, los estándares exactos para gentlemanliness son un poco vagos. Los argumentos parecen ser implícitamente escoge base. Estoy esperando hay un argumento que es caballeroso unambigously.

Answer 1

El seguimiento de Qiaochu de la consulta, una manera de distinguir un finito-dimensional $V$ a partir de un único infinito es que existe un espacio $W$, junto con los mapas de $e: W \otimes V \k$, $f: k \V \otimes W$ hacer el habitual triangular de ecuaciones de espera. Los datos de dólares(W, e, f)$ está determinada únicamente hasta canónica de isomorfismo, es decir, $W$ es canónicamente isomorfo al doble de los $V$; $e$ es, por supuesto, la evaluación de la vinculación. (Si bien es difícil escribir una fórmula explícita para $f: k \V \otimes V^*$ sin hacer referencia a un base, sin embargo, es independiente de la base: es el mismo mapa, independientemente de que la base de selección, y por lo tanto canónica.) Mediante el intercambio de $V$ y $W$ el uso de la simetría del tensor, hay mapas de $V \otimes W \a k$, $k \W \otimes V$ en los que se exhiben $V$ como el doble de los $W$, por lo tanto $V$ es canónicamente isomorfo al doble de su doble.

Solo para ser un poco más explícito, a la inversa que el doble doble de la incrustación de $V \V^{**}$ vendría dado por

$$V^{\ast\ast} \V \otimes V^* \otimes V^{\ast\ast} \a V$$

donde la descripción de los mapas que utiliza los datos de arriba.

Answer 2

Tal vez sería más apropiado responder a su pregunta con otra pregunta: ¿Cómo distinguir un finito-dimensional espacio del vector de uno infinito-dimensional sin hablar de bases?

Answer 3

En el precio de ser demasiado categórica a la pregunta, uno puede seguir Todd la respuesta de la siguiente manera. Considere la posibilidad de cualquier cerrada monoidal simétrica categoría $\mathcal{V}$ producto $\otimes$ y objeto de la unidad de $k$, como espacios vectoriales sobre un campo $k$. Deje que $V$ a ser un objeto de $\mathcal{V}$ y dejar $DV = Hom(V,k)$. Sólo a partir de propiedades formales de $\mathcal{V}$, hay canónica mapas de $\iota\colon k\a Hom(V,V)$ y $\nu\colon DV\otimes V\a Hom(V,V)$, lo que son las cosas habituales para espacios vectoriales. Decir que $V$ es dualizable si hay un mapa de $\eta\colon k\V\otimes DV$ tal que $\nu \circ \gamma \circ \eta = \iota$, donde $\gamma$ es la conmutatividad isomorfismo. Argumentos formales muestran que $\nu$ es entonces un isomorfismo y si $\epsilon\colon DV\otimes V \k$ es la evaluación del mapa (no oficialmente), luego, con $W=DV$, $\eta$ y $\epsilon$ satisfacer las condiciones Todd declarado de $e$ y $f$. Esto es lo suficientemente general que no puede tener nada que hacer con las bases. Pero se restringe a los espacios vectoriales, se puede elegir un conjunto finito de elementos $f_i\en DV$ y $e_i\en V$ tal que $\nu(\sum f_i\otimes e_i) = id$. A continuación, de forma que $\{e_i\}$ es una base de $V$, con doble base $\{f_i\}$. Esto demuestra que $V$ es finito dimensional, y la conversar es tan claro como en el de Todd respuesta. No es el resultado de Cartan-Eilenberg llamado el doble teorema de la base que, básicamente, se señala que la precisión análoga caracterización tiene para finitely generado proyectivas de módulos sobre un anillo conmutativo $k$, con la misma prueba.

Answer 4

Lo siento si esto debe ser un comentario en lugar de responder. Es una adición a mi respuesta anterior. Yo debería haber señalado que, todavía en general monoidal simétrica categoría, si $V$ es dualizable, a continuación, un argumento formal también muestra que la canónica de mapa $V \V^{**}$ (otra vez definido formalmente) es un isomorfismo. También, en respuesta a Pedro Samuelson, mientras que el nombre de `doble teorema de la base" data de mucho antes de mi tiempo, tiene alguna justificación. Cuando $\mathcal{V}$ es módulos más de un anillo conmutativo $k$, si uno toma un dualizable $V$ y se construye el módulo de $F$ en función de $\{d_i\}$ en correspondencia 1-1 con el $e_i$ en mi post anterior, entonces $\alpha(v) = \sum f_i(v) d_i$ especifica un monomorphism $\alpha\colon V\F$ tal que $\pi\alpha = id$, donde $\pi(d_i) = e_i$. Esto completa la prueba de que dualizable implica finitely generado proyectiva, con una base pertinente a la vista de todos.

Answer 5

hay un mapa canónico $ev: V \to V ^ {*} $ definida por $ev(v)(\phi) = $ \phi(v). para comprobar que es un isomorfismo en el ajuste dimensional finito sólo puede comprobar que es inyectiva y esto es evidente de la definición.