Cuando se $(a^2+b)(b^2+a)$ un poder de $2$?

Question

Cuando se $(a^2+b)(b^2+a)$ un poder de $2$?

($a$, $b$ enteros positivos)

He probado algunos de los valores en el equipo y parece que las únicas soluciones son $a=1$, $b=1$. Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El producto $(a^2+b)(a+b^2)$ es una potencia de dos, si y sólo si ambos factores son: $$\begin{array}{rcl} a^2+b&=&2^r\\ a+b^2&=&2^s \end{array}$$

Si $a=b$, entonces la ecuación de $a^2+a=a(a+1)=2^r$ tiene una única solución, es decir, $a=1$. Por lo que podemos WLOG asumir que $a>b$. Por lo tanto, $r>s$.

Desde $2^s=a^2+b\geq2^2+1$,$s>1$.

Desde $s>1$, $a$ y $b$ tienen la misma paridad. Restando las ecuaciones y factorizando tenemos: $$(a-b)(a+b-1)=2^s(2^{r-s}-1)$$ Desde $a+b-1$ es impar, $2^s$ divide $a-b$, que es, $a=2^sk+b$, $k\geq1$. Pero $a=2^s-b^2<2^s$, una contradicción.

Answer 2

Si $a$ tiene menor poder de $2$$b$:

$a+b^2$ va a ser un extraño múltiples de un poder de $2$ y, por lo tanto no ser una potencia de $2$

Del mismo modo, si $b$ tiene menor poder de $2$ $a$

Por lo tanto, $a,b$ debe tener el mismo poder de $p$ $2$

Deje $a = 2^p x$ donde $x$ es impar

Deje $b = 2^p y$ donde $y$ es impar

A continuación, $(a^2+b)(b^2+a) = 2^{2p} ( 2^p x^2 + y ) ( 2^p y^2 + x )$

Por lo tanto $2^p x^2$ es impar, y por lo tanto,$p = 0$, y por lo $a,b$ son ambos impares

Si $a = b$:

$(a^2+b)(b^2+a) = a^2 (a+1)^2$

Por lo tanto $a = 1$ lo contrario $a^2$ no es una potencia de $2$

Si $a \ne b$:

$(a-b)(a+b-1) = 2^q z$ donde $q$ es positiva y $z$ es impar

$a = 2^q + b$

$(a^2+b)(b^2+a) = ( 2^{2q} + 2^{q+1} b + b^2 ) ( 2^q + b^2 + b )$

Por lo tanto $2 | b$ lo contrario $2^{2q} + 2^{q+1} b + b^2$ no va a ser una potencia de $2$

Contradicción

Por lo tanto, $(a,b) = (1,1)$