Auto adjoints y unitaries en una de banach * álgebra

Question

Son los espectros de auto adjoints y unitaries en banach * álgebras necesariamente un subconjunto de los reales y el círculo unidad, respectivamente? Las pruebas a las que sé que C* álgebras de utilizar el continuo funcional de cálculo.

Answer 1

Como Qiaochu sugiere, considere el disco álgebra $A$ de funciones continuas en el cerrado de la unidad de disco $\overline{D}$, que es analítica en el interior de la $D$, con supremum de la norma y la involución $f^*(z) = \overline{f(\overline{z})}$. En particular, la identidad de la función $z \to z$ es auto-adjunto, pero su espectro es $\overline{D}$.