En Tristán Needham, el maravilloso libro de Visual Complejo de Análisis, el capítulo sobre las transformaciones de Möbius comienza afirmando que se corresponden uno a uno con la transformación de Lorentz de la relatividad especial. He intentado averiguar los detalles de esta correspondencia, y me gustaría que mis resultados a ser confirmada o corregida. Estoy bastante seguro de mi trabajo, pero quería preguntar porque difiere ligeramente de lo que Needham, afirma.
Estoy trabajando con las siguientes definiciones:
(1) Las transformaciones de Möbius son transformaciones del plano complejo de la forma $z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}, a,b,c,d \in \mathbb{C}, ad-bc \neq 0$. Me referiré a el grupo de estos, como $P(1,\mathbb{C})$, la notación de Ahlfors.
(2) El grupo de Lorentz es el grupo de transformaciones lineales de $\mathbb{R}^4$ que conservan la forma de Lorentz $t^2-x^2-y^2-z^2$. Por lo tanto es representado por el conjunto de bienes 4x4 matrices de satisfacciones $M^tI_{1,3}M=I_{1,3}$ donde $I_{1,3}$ es la matriz de la forma de Lorentz, es decir, $1, -1, -1, -1$ en la diagonal principal y cero en otro lugar. Para el grupo, voy a utilizar la notación $O_{1,3}$ de Artin.
(3) "como el espacio de intervalo" es un vector en $\mathbb{R}^4$ en el que la forma de Lorentz es negativo; un "tiempo-como intervalo" es un vector en $\mathbb{R}^4$ en el que la forma de Lorentz es positivo. Yo soy la adopción de la convención de que el tiempo es la primera coordenada.
Después de muchas horas de trabajo, ahora creo que la siguiente:
(a) El isomorfismo con $P(1,\mathbb{C})$ realmente sólo pertenece a un subgrupo de $O_{1,3}$ de índice de 4, llame a $M$. Hay un subgrupo de índice 2 de $O_{1,3}$ que tiene un surjective homomorphism a $P(1,\mathbb{C})$, pero no es bijective debido a que el núcleo es $\{I,-I\}$. Las transformaciones de Lorenz en el coset del índice 2 subgrupo realidad mapa de orientación de la inversión de las transformaciones de $\mathbb{C}$ que no son por lo tanto las transformaciones de Möbius.
(b) $M$ es el componente de la ruta que contenga $I$.
(c) También, $M$ es el conjunto de transformaciones de Lorenz que preservan la dirección de tiempo en tiempo-como los intervalos y también para conservar la orientación de 3-espacio dado por el espacio-componentes de conjuntos de 3 linealmente independientes como el espacio de los intervalos.
(d) sin Embargo, incluso las transformaciones en este subgrupo $M$ son capaces de revertir el tiempo en el espacio-como intervalos o la orientación de espacio, dado que el espacio de los componentes de los conjuntos de 3 tiempo-como intervalos.
Es esto correcto? Si/cuando incorrecto, lo que es cierto lugar?
