¿Por qué cada número primo ( $5$ y superior) divisible por $24$ (en un entero) cuando lo cuadras y le restas $1$ ?

Question

Hice esta pregunta en puzzling.se y alguien sugirió que la publicara aquí:

Descubrí esto por accidente, al tratar de crear una fórmula que genera números primos (una tarea imposible, lo sé).

Pero, encuentro muy interesante que tomes cualquier número primo 5 y mayor, luego lo cuadras y le restas 1, dividiéndolo entre 24 siempre resulta en un entero.

Por ejemplo:

5 x 5 = 25 - 1 = 24 / 24 = 1
7 x 7 = 49 - 1 = 48 / 24 = 2
11 x 11 = 121 - 1 = 120 / 24 = 50

El resultado es siempre un número entero, independientemente de lo alto que sea el número primo.

¿Alguien puede explicar por qué es así, matemáticamente? Esto no me parece posible. Y si esto es realmente cierto, ¿por qué no puedo encontrar nada escrito sobre ello?

Nunca he oído hablar de este teorema antes, y nada se menciona en Wikipedia u otras fuentes. Pero quizás esto podría ser útil para reducir $33\%$ de las posibilidades al tratar de encontrar o probar grandes números primos, computacionalmente.

ACTUALIZACIÓN: el laboratorio hizo la observación de que todos los números resultantes son aparentemente también divisibles por $24$ interesante

ACTUALIZACIÓN: después de la observación del laboratorio, intenté $24 \times 24 = 576 + 1 = 577$ (un número primo) .. interesante y .. $576 \times 576 + 1 = 331,777$ que también es un primer

Extrapolando aún más en la brecha de números entre $2$ y $50$ :

primos:

24 x 3 = 72 + 1 = 73  72 - 1 = 71  72 + 7 = 79
24 x 4 = 96 + 1 = 97   96 + 5 = 101  96 + 7 = 103   
24 x 5 = 120 - 7 = 113  120 + 7 = 121
24 x 6 = 144 - 7 = 137  144 + 7 = 151
24 x 7 = 168 - 1 = 167  168 + 5 = 173
24 x 8 = 192 - 1 = 191  192 + 5 = 197
24 x 9 = 216 + 7 = 223

No es una fórmula perfecta para encontrar primos, pero parece ser efectiva :-)

Answer 1

Su observación se aplica a cualquier número entero que no sea divisible por $3$ no sólo los primos. En efecto, $n^2-1=(n+1)(n-1)$ y uno de los números $n+1$ , $n-1$ es un múltiplo de $3$ a menos que $n$ es un múltiplo de $3$ .

Answer 2

Cualquier número entero puede expresarse como $6n,6n \pm1 ,6n \pm2 ,6n+3$ donde $n$ es cualquier número entero

Obsérvese que, cualquier número primo $>3,$ puede expresarse como $6n \pm1 $

Ahora, $(6n \pm1 )^2=36n^2 \pm12n +1=24n^2+24 \dfrac {n(n \pm1 )}2+1 \equiv1\pmod {24}$

Así que, cualquier número entero de la forma $6n \pm1 $ satisfará la propuesta, ni siquiera necesitamos primos

Answer 3

Esta respuesta camina a través de algunas matemáticas simples, y saca la respuesta en el último párrafo:

Cuadratura n y restando uno da n²-1 que puede ser reescrito como (n+1)(n-1) .

Si n no se divide por 3, entonces uno de n+1 y n-1 divide por 3 (debido a los tres números consecutivos n-1 , n y n+1 exactamente uno de ellos debe dividirse por 3).

Si n no se divide por 2, entonces ambos n+1 y n-1 dividido por 2, y (exactamente) uno de esos divide 4.

Esto significa que si n no divide 2 o 3 (por ejemplo, si es un número primo que es 5 o más), entonces (n+1)(n-1) se divide por 2, 3 y 4 (o para decirlo más claramente, se divide por 3 y 8), y por lo tanto divide 24.