Derivada de la integral elíptica del primer tipo

Question

La integral elíptica completa del primer tipo se define como $$K(k)=\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{1-k^2\sin^2{x}}}$$ y la integral elíptica completa de segundo tipo se define como $$E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2{x}}~dx$$ para $0\leq k<1$ .

Se supone que debo demostrar la siguiente relación $$K'(k)=\frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}.$$

Lo que he probado hasta ahora

Sin pensar mucho en el intercambio de integración y diferenciación traté de calcular \begin{align}K'(k)&=\int_0^{\pi/2} \frac{k\sin^2{x}}{(1-k^2\sin^2{x})^{3/2}}dx=-\frac{1}{k}\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1-k^2\sin^2{x}}{(1-k^2\sin^2{x})^{3/2}}-\frac{1}{(1-k^2\sin^2{x})^{3/2}}\right)dx\\ &=-\frac{K(k)}{k}+\frac{1}{k}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{(1-k^2\sin^2{x})^{3/2}} dx.\end{align} Comparando esto con el resultado que se supone que debo obtener quedaría por demostrar $$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{(1-k^2\sin^2{x})^{3/2}} dx=\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2{x}}}{1-k^2}dx.$$ Algunos cálculos numéricos sugieren que esta identidad es correcta, pero no sé cómo demostrarlo. Se agradece cualquier pista o solución.

Answer 1

Hagamos el cambio de variables $t=\sin^2x$ , $\displaystyle dx=\frac{dt}{2\sqrt{t(1-t)}}$ para que \begin{align} &K(k)=\frac12\int_0^{1}\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)(1-k^2 t)}},\tag{1}\\ &E(k)=\frac12\int_0^{1}\sqrt{\frac{1-k^2t}{t(1-t)}}\,dt=\frac12\int_0^{1}\frac{(1-k^2t)dt}{\sqrt{t(1-t)(1-k^2 t)}}\,dt.\tag{2} \end{align} Entonces, utilizando (1) y (2), deducimos que \begin{align} &k(1-k^2)K'(k)-E(k)+(1-k^2)K(k)\\ &=\frac12\int_0^1\frac{k^2(1-k^2)t\,dt}{(1-k^2t)\sqrt{t(1-t)(1-k^2 t)}}-\frac12\int_0^1\frac{k^2(1-k^2t)dt}{\sqrt{t(1-t)(1-k^2 t)}}\\ &=-k^2\int_0^{1}\frac{d}{dt}\left(\sqrt{\frac{t(1-t)}{1-k^2t}}\,\right)dt\\ &=0. \end{align} .

En el último paso integramos la derivada de una función que desaparece en los puntos extremos.

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P.D. Si en lugar de eso quieres mostrar tu última identidad, la idea sigue siendo la misma: utiliza ese $$\frac{1}{(1-k^2\sin^2x)^{3/2}}-\frac{(1-k^2\sin^2x)^{1/2}}{1-k^2}=-\frac{k^2}{1-k^2} \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\right).$$