Topológico Ahorcado

Question

Supongamos que un misterioso adversario ha capturado a mí y me desafió a la siguiente topológico de juego. Arreglar algunas conjunto finito, digamos, $X = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$, y mi adversario secreto construye una topología $T$$X$. Mi trabajo es determinar $T$ pidiéndole a mi oponente, tantas veces como desee, con el límite de $\partial S$ $T$ de cualquier subconjunto $S \subset X$, pero por cada respuesta que recibe, una parte de mi anatomía se desalojaron por la fuerza. Yo no voy a contestar hasta que yo estoy absolutamente seguro de $T$ (sin adivinar!), y voy a ser liberados tan pronto como tengo que responder correctamente.

Pregunta: ¿Qué estrategia puedo utilizar para maximizar el número de partes del cuerpo, espero de a pie?

El caso de $n=1$ es trivial, ya que sólo hay una topología sobre un singleton. En el caso de $n=2$, mi estrategia es particularmente simple: pido por el límite de $\{1\}$. Hay cuatro posibles límites, cada uno único y determinar el $T$:

• Si $\partial \{1\} = \emptyset$, $T$ es la topología discreta en $X$.
• Si $\partial \{1\} = X$, $T$ es la topología indiscreta en $X$.
• Si $\partial \{1\} = \{1\}$,$T = \{\emptyset, \{2\}, X\}$.
• Si $\partial \{1\} = \{2\}$,$T = \{\emptyset, \{1\}, X\}$.

En cualquier caso, voy a perder sólo una parte del cuerpo. Me han determinado a través de la computadora de búsqueda que para $n=3$, es suficiente para comprobar $$ \{1\}, \{1,3\}, \{3\} $$ y para $n=4$, $$ \{1\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{4\} $$ aunque no estoy seguro de si estas son óptimas, y no sé si el patrón se generaliza.

Answer 1

Tengo dos noticias para usted.

La primera noticia es buena. Usted va a perder en la mayoría de las $n$ partes del cuerpo. De hecho, para describir una topología en el set $X$ es suficiente para describir a $\overline{S}$ para cada subconjunto $S$$X$. Pero, puesto que el conjunto de $S$ es finito, $\overline{S}=\cup_{x\in S}\overline{\{x\}}$, e $\overline{\{x\}}=\{x\}\cup \partial\{x\}$ por cada $x\in X$.

La segunda noticia es mala. Supongamos que usted necesita por lo menos 3 preguntas para determinar una topología en un 3-elemento de conjunto y de al menos 4 preguntas para determinar una topología en un 4-elemento del conjunto. Si $n\ge 6$, entonces el adversario puede particionar $n$-element set $X$ en un discontinuo de la unión de 3 o 4 elementos.$X_i$, definir una topología $T_i$ en cada una de las $X_i$ manera independiente, y definir en el set $X$ una topología $T$ de topológico suma $\bigoplus (X_i, T_i)$.