¿Aplicación del teorema de convergencia dominante?

Question

Encuentra con pruebas el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(\sin(x))^n}{x^2}dx$$

Quiero utilizar el DCT pero no consigo dominar $f_{n}(x)=\frac{(\sin(x))^n}{x^2}$ por una función integrable. Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Poner $f_n(x):=\frac{(\sin x)^n}{x^2}\mathbf 1_{x\neq 0}$ . Tenemos para $n\geq 2$ y $x\in\mathbb R$ \begin{align*}|f_n(x)|&=\frac{|(\sin x)^n|}{x^2}\mathbf 1_{|x|\geq 1} +\frac{|(\sin x)^n|}{x^2}\mathbf 1_{|x|< 1}\mathbf 1_{x\neq 0}\\ &\leq \frac 1{x^2}\mathbf 1_{|x|\geq 1}+x^{n-2}\mathbf 1_{|x|< 1}\mathbf 1_{x\neq 0}\\ &\leq\frac 1{x^2}\mathbf 1_{|x|\geq 1}+\mathbf 1_{|x|< 1}=:g(x) \end{align*} que es una función integrable. Como $f_n(x)\to 0$ si $x\notin \frac{\pi}2+\pi \mathbb Z$ un conjunto de medidas $0$ podemos aplicar el teorema de convergencia dominada para obtener $$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(\sin x)^n}{x^2}dx=0.$$