Cálculo: muy grave de L'Hospital de la Regla de problema

Question

Calcular utilizando la regla de L'Hospital:

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/\sin(x)}$$

He mantenido la diferenciación, pero es demasiado larga. ¿Cómo puedo hacer frente a este tipo de problema?

También, cuando me encuentro con un límite de la forma $\infty \cdot 0$ y quiero que sea elegible para la regla de L'Hospital, debo transformarlo en $$\frac{\infty}{1/0}=\frac{\infty}{\infty}$$ o $$\frac{0}{1/\infty}=\frac{0}{0}$$

Answer 1

O sin l'Hôpital: $$\frac{\ln x}{\frac1{\sin x}} = (x\ln x)\cdot \frac{\sin x}x,$$ donde cada factor tiene un límite conocido como $x\to0^+$.

Answer 2

Se eligió el peor camino para convertir el $0\cdot\infty$ forma en que l'Hospital de la regla se aplica.

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}\ln x\sin x&=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{1/\ln x}\\\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x}{-(\ln x)^{-2}\cdot\frac1x}\\\\ &=-\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2\cos x}{1/x}\;. \end{align*}$$

En este punto usted puede tratar de intentar aplicar la regla de l'Hospital de nuevo, pero es claro que el numerador va a ser bastante complicado. Una mejor idea es aviso de que $\lim\limits_{x\to 0^+}\cos x= 1$, por lo que

$$-\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2\cos x}{1/x}=-\left(\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2}{1/x}\right)\lim_{x\to 0^+}\cos x=-\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2}{1/x}\;;$$ este se deshace de la función trigonométrica. Ahora

$$\begin{align*} -\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2}{1/x}&=-\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac2x\ln x}{-1/x^2}\\\\ &=2\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x}\\\\ &=2\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}\\\\ &=-2\lim_{x\to 0^+}x\\\\ &=0\;. \end{align*}$$

Siempre es una buena idea mantener los ojos abiertos para los factores conocidos finito, no-cero límites, como el $\cos x$ arriba: por lo general, es una buena idea para simplificar lo más posible de la expresión cuyo límite que usted está tomando.