Para cada una de las $\epsilon > 0$, definir $f_\epsilon:\mathbb R\to \mathbb R$ como sigue: \begin{align} f_\epsilon(k) = \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{\epsilon^2+k^2}. \end{align} ¿Cómo se hace rigurosamente mostrar (en el sentido de las distribuciones) que $f_\epsilon(k) \to \delta(k)$$\epsilon\to 0$?
Creo que tengo la estructura esencial de un argumento usando el contorno de la integración, pero faltan algunos detalles que no tengo la experiencia para rellenar.
Para cada una de las $a>0$, vamos a $C_a$ ser el CCW contorno que consta de un segmento recto entre el $-a$ $a$ sobre el eje real, y un segmento semicircular en la mitad superior del plano de radio $a$. A continuación, moralmente hablando, creo que los siguientes pasos son correctos \begin{align} \lim_{\epsilon\to 0}\int_{-\infty}^\infty f_\epsilon(k)\varphi(k)\, dk &= \lim_{\epsilon\to 0} \lim_{a\to\infty}\int_{C_a} \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{(z-i\epsilon)(z+i\epsilon)}\varphi(z) \, dz \\ &= \lim_{\epsilon\to 0} (2\pi i) \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{(i\epsilon + i\epsilon)}\varphi(i\epsilon) \\ &= \varphi(0) \end{align} Sin embargo, estoy más preocupado por los detalles de la extensión de la función de prueba de $\varphi$ a un suficientemente buena función en $\mathbb C$ a fin de realizar el contorno de integración. En el libro que estoy estudiando, una función de prueba se define como una función en $C^\infty(\mathbb R)$ tal de que él y todos sus derivados son $O(|x|^{-N})$ todos los $N$$|x|\to\infty$.
Cualquier función de prueba de tener una buena continuación a $\mathbb C$ que hace los pasos anteriores válido? Tal vez una continuación analítica existe? Tal vez hay una manera de hacer esto sin el contorno de integración de manera que uno no tiene que preocuparse acerca de la continuación?
