¿Hay muchos menos números racionales que reales?

Question

Hoy mi profesor me ha pedido que calcule la probabilidad de obtener un número racional de $[0,1]$ . Su respuesta fue que la probabilidad es $0$ . ¿Por qué?

Answer 1

Intuitivamente, piensa que los números racionales tienen una representación decimal periódica. Si dibujas un número dígito a dígito, ¿qué posibilidades tienes de hacer un dibujo periódico en comparación con uno completamente aleatorio?

Answer 2

A riesgo de complicar demasiado las cosas, si profundizas un poco encontrarás que tu profesor define "distribución uniforme" en el sentido de que para cualquier subconjunto $S$ de $[0,1]$ la llamada "probabilidad de sacar un número en $S$ "es la medida de Lebesgue del conjunto $S$ .

Si no conoce la definición real, puede pensar en la medida de Lebesgue de $S$ como el área bajo la gráfica de la función característica de $S$ es decir, la función que toma el valor $1$ para los elementos en $S$ y $0$ en otro lugar. Puede ser que tu profesor plantee su definición en términos de longitudes o integrales en lugar de la medida de Lebesgue como tal, pero equivaldrá a lo mismo.

Ahora resulta que los números racionales son contables, y que la medida de Lebesgue de cualquier conjunto contable en los números reales es $0$ . Por lo tanto, la probabilidad es $0$ directamente de la forma en que definió su distribución en primer lugar.

Se necesita un cierto mecanismo para definir formalmente la medida de Lebesgue y demostrar que la medida de cualquier conjunto contable es $0$ pero la idea general es la siguiente. Consideremos una secuencia contable de puntos $a_i$ . Para cualquier número pequeño dado $\epsilon > 0$ podemos poner un intervalo de tamaño $\frac{\epsilon}{2}$ alrededor del primer punto $a_1$ un intervalo de tamaño $\frac{\epsilon}{4}$ alrededor de $a_2$ y en general el tamaño $\frac{\epsilon}{2^i}$ alrededor de $a_i$ . Los intervalos se superponen, pero la suma de las longitudes de todos ellos es $\epsilon$ por lo que la medida de su unión no es mayor que $\epsilon$ que recordemos puede ser tan pequeño como queramos. Esto significa que el conjunto $\{a_i: i \in \mathbb{N}\}$ puede estar contenido en un conjunto de intervalos tan "corto" como queramos, lo que (una vez que hagamos un conjunto adecuado de definiciones formales) significa que tiene medida $0$ e intuitivamente significa que el conjunto de racionales "no tiene longitud" en los reales, y ocurre con probabilidad $0$ . El complemento de los racionales, el conjunto de los números irracionales, no puede de esta manera se puede cubrir en intervalos arbitrariamente pequeños, y no tiene medida $0$ (de hecho tiene medida $1$ (lo cual es una buena noticia para los que quieren que sus probabilidades sumen)

Hay muchas distribuciones de probabilidad en $[0,1]$ que no son continuas, y para las que la afirmación de tu profesor no es cierta. Supongo que se refiere a la distribución continua uniforme porque siempre es la distribución a la que se refiere la gente cuando no se molesta en declararla, pero la propiedad se cumple para cualquier distribución continua, así que no está de más omitir los detalles.

Answer 3

Todas las respuestas que se dan aquí presuponen que su [0, 1] denota un subconjunto de los Números Reales, pero usted dijo,

Bueno, esta lección se llama "Introducción a los ordenadores"

Los ordenadores no utilizan números reales. Si [0, 1] denota el conjunto de números que podría devolver un generador de números aleatorios (procedimiento) en un programa informático, entonces la probabilidad de obtener un resultado racional del mismo es 1.

Cada número de punto flotante es racional.

Answer 4

Sólo hay contablemente muchos números racionales en $[0,1]$ mientras que el conjunto de números irracionales en $[0,1]$ es incontable.

Answer 5

La probabilidad de que elijamos un número racional debe ser claramente igual a la probabilidad de elegir un $x$ tal que $x+\sqrt{2}$ es racional - cambiar los racionales por una constante ciertamente no debería afectar a la probabilidad. Así, si la probabilidad de elegir un racional es $p$ entonces la probabilidad de elegir un $x$ de manera que $x$ o $x+\sqrt{2}$ es racional debe ser $2p$ ya que estos dos eventos son disjuntos. Esto significa que $2p\leq 1$ ya que toda probabilidad es menor que $1$ . Así que $p\leq \frac{1}2$ .

Sin embargo, esto nos da problemas: la probabilidad de que $x+n\sqrt{2}$ es racional (para los enteros $n$ ) es también $p$ . Por lo tanto, la probabilidad de que uno de los siguientes: $$x,x+\sqrt{2},x+2\sqrt{n},\ldots,x+(n-1)\sqrt{2}$$ es racional debe ser $np$ ya que no hay dos que puedan ser racionales simultáneamente (pero, individualmente, cada uno sería racional con probabilidad $p$ ). Así, obtenemos que $np\leq 1$ cualquier $n$ . Así, $p\leq \frac{1}n$ para todos $n$ - lo que implica que $p$ debe ser $0$ ya que esto no es cierto para cualquier número positivo.