Para copo de nieve de Koch, no hay salidas de un mapa continuo de $[0,1]$ a? El actural construcción del mapa puede ser imposible, pero cómo reclamar la existencia de un mapa continuo? O podemos conside el límite de una secuencia de mapa continuo, pero esta secuencia de continuo posible que los mapas no tengan límite.
Respuesta
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Considerar el copo de nieve de la curva, como el límite de las curvas de $(\gamma_n)_{n\in \mathbb N}$, en la forma usual, comenzando con $\gamma_0$ lo cual es un triángulo equilátero de lado de longitud 1. A continuación, cada una de las $\gamma_n$ es un modelo lineal por tramos, que consta de $3\cdot 4^n$ piezas de longitud $3^{-n}$ cada uno; para la definición imaginemos que podemos parametrizar tal que $|\gamma_n'(t)| = 3(\frac 43)^n$ siempre existe.
Ahora, siempre tiene que $|\gamma_{n+1}(t)-\gamma_n(t)|\le 3^{-n}$ por cada $t$ (debido a que cada paso de la iteración sólo cambia la curva entre dos esquinas en la curva existente, pero mantiene cada esquina y su correspondiente valor del parámetro sin cambios). Esto significa que el $\gamma_n$'s converge uniformemente hacia su pointwise límite: En cada una de las $t$ la distancia entre el $\gamma_n(t)$ $\lim_{i\to\infty}\gamma_i(t)$ es en la mayoría de las $\sum_{i=n}^\infty (1/3)^i$ que es independiente de la $t$ y se va a $0$$n\to\infty$.
Porque uniforme de convergencia preserva la continuidad, la limitación de la curva es una función continua de $[0,1]$ a del plano.
