Dejemos que $A$ sea un conjunto abierto de $\mathbb{R}$ y $B$ cualquier conjunto, bajo qué conidiciones de $B$ , $AB$ ¿está abierto?

Question

No sé realmente cómo establecer las condiciones para que $AB$ puede estar abierto. El problema dice:

Dejemos que $A$ sea un conjunto abierto en $\Bbb R$ y $B$ cualquier otro conjunto. Definir: $$AB = \{xy\in\mathbb{R}\,\colon x\in A\text{ and }y\in B\}$$

Es $AB$ ¿abierto? Creo que no, porque si $B= \{0\}$ entonces $AB= \{0\}$ y está cerrado

en qué condiciones de $B$ , $AB$ ¿está abierto?

Answer 1

Supongamos que ambos $A$ y $\dot B:=B\setminus\{0\}$ son no vacíos. Entonces $$\dot BA=\bigcup_{b\in\dot B} b\>A$$ es una unión de copias a escala de $A$ de ahí que se abra. Si $0\notin B$ entonces $\dot B=B$ y hemos terminado. Si $0\in B\cap A$ entonces $BA=\dot BA\cup\{0\}=\dot BA$ también.

Queda el caso de que $0\in B\setminus A$ . Aquí es necesario hacer distinciones más finas: Si $A=\ ]0,1[\ $ y $B=[0,1[\ $ entonces $BA$ no está abierto. Por otro lado, consideremos el ejemplo $A:=\ ]1,2[\ $ , $B:=[{-1},1]$ . Entonces $\dot BA=\ ]{-2},0[\ \cup\>]0,2[\ $ y $BA=\ ]{-2},2[$ también está abierto.

( Editar: La siguiente conjetura es errónea; véase el contraejemplo de Milo Brandt).

Esto lleva a la siguiente conjetura sobre el caso $0\in B\setminus A$ : El conjunto $BA$ es abierto si para cualquier $\epsilon>0$ existen números $x$ , $x'\in A$ y $y$ , $y'\in B$ tal que $$-\epsilon<x'y'<0<xy<\epsilon\ .$$