¿Está bien evaluar las integrales impropias de esta manera?

Question

Hoy en clase hemos aprendido que cuando se tiene una integral impropia como esta:

$$\int_{-\infty}^\infty {f(x)} \: dx$$

debes dividirlo antes de hacer los límites (así):

$$\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^n {f(x)} \: dx + \lim_{a \to \infty} \int_{n}^a {f(x)} \: dx$$

Pregunté si esto funcionaría:

$$\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a {f(x)} \: dx$$

Y mi profesor dijo que no funcionaría, pero no quiso explicar por qué. ¿Por qué no funcionaría? Un ejemplo de una función que no funciona estaría especialmente bien.

Answer 1

El problema es que limitar a ambos infinitos al mismo tiempo puede pasar por alto la divergencia.

Sin embargo, el valor: $\lim\limits_{a \to \infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx$ (si existe) es lo suficientemente importante como para tener un nombre: el valor principal .

Entonces, ¿por qué no se puede hacer el límite así? Considere $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$

Observe que $\int_0^\infty x\,dx$ se desvía hacia $\infty$ y $\int_{-\infty}^0 x\,dx$ se desvía hacia $-\infty$ . Así que obtenemos (de cualquier lado) que nuestra integral diverge.

Sin embargo, $\lim\limits_{a \to \infty} \int_{-a}^a x\,dx = \lim\limits_{a \to\infty} a^2/2 - (-a)^2/2 = \lim\limits_{a \to \infty} 0 = 0$ .

Así que el valor principal de $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ es cero mientras que la propia integral diverge.

En general, SI una integral impropia converge, puedes ser muy descuidado y obtener la respuesta correcta. Por otro lado, si realmente diverge, ¡la dejadez puede pasar por alto esto!

Como les digo a mis alumnos: Deben acercarse UNA lado de CADA mal punto por sí mismo. Entonces, junta tu respuesta.

Adenda: Supongamos que $\int_{-\infty}^c f(x)\,dx$ y $\int_c^\infty f(x)\,dx$ existe.

Entonces $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \int_a^c f(x)\,dx + \lim\limits_{b \to \infty} \int_c^b f(x)\,dx = \lim\limits_{b \to \infty} \int_{-b}^c f(x)\,dx + \lim\limits_{b \to \infty} \int_c^b f(x)\,dx$

Ahora, como esos dos límites existen, podemos combinarlos. Así que tenemos...

$=\lim\limits_{b \to \infty} \int_{-b}^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx =\lim\limits_{b \to \infty} \int_{-b}^b f(x)\,dx$

...que es el valor principal. Así que la integral impropia y el valor principal coinciden cuando la integral realmente converge.

Answer 2

(Ya hay una buena respuesta, pero pensé en añadir algo).

Decimos que un límite existe, si no importa cómo lo abordemos se aproxima a lo mismo. Por ejemplo $$-1 = \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}\neq\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x} = 1 $$ y por lo tanto el límite $\lim_{x\to0}|x|/x$ no existe. De manera similar, tenemos que considerar de cualquier manera el intervalo de integración $[a,b]$ crece, donde $a\to-\infty$ y $b\to\infty$ .

Considere por ejemplo \begin{align} &\int_{-n}^{2n} x\,\mathrm{d}x =\frac{3}{2}n^2 &\text{and }\quad &\int_{-n}^n x\,\mathrm{d}x = 0.\end{align} Como $n$ se acerca a $\infty$ el intervalo es $[-\infty,\infty]$ para ambas integrales, pero acercándose de manera diferente. En este ejemplo tenemos que la primera integral va al infinito, sin embargo la segunda integral parece converger? Como he dicho, un límite tiene que ser el mismo independientemente de cómo nos acerquemos a él, por lo que la integral $$\int_{-\infty}^\infty x\,\mathrm{d}x$$ realmente diverge (cosa que no ocurre con "tu" método). Espero que esto te ayude a ver por qué es importante considerar los puntos finales del intervalo de forma independiente.

Answer 3

El único caso en el que no se puede definir la integral de esa manera es cuando $f$ no es integrable. En términos de la integral de Lebesgue se puede comprobar esto para funciones positivas.

Wikipedia menciona $$f(x) = \left\{ \begin{array} \;1 \; \; x > 0 \\ -1 \;\;x < 0 \end{array} \right. .$$

Puede comprobar que esto tiene $0$ en cada término de la secuencia $\lim\limits_{a \rightarrow \infty} \int\limits_{-a}^a f(x) dx$ pero es claramente no integrable por la definición de la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.

Answer 4

Si hay una "discontinuidad" en el punto "n" , entonces la combinación de las dos integrales , no dará (puede no dar) el resultado correcto.