Dejemos que $S = \sum_{n \in \mathbb{Z}} S_n$ sea un anillo graduado conmutativo. Sea $I$ sea un ideal homogéneo de $S$ . Sea $J$ sea el radical de $I$ es decir $J = \{x \in S| x^n \in I$ para algunos $n > 0\}$ . Es $J$ ¿un ideal homogéneo?
Respuestas
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Sí. Deja que $x^n \in I$ . Tome la pieza de mayor calificación $x_k$ de $x$ entonces está claro, al ver los grados, que $x_k^n \in I$ es decir $x_k \in J$ . Ahora $x-x_k$ está de nuevo en $J$ por lo que podemos repetir el proceso para ver que los componentes de $x$ en cada grado todos se encuentran en $J$ .
slolife
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Voy a dar por sentado el siguiente hecho dos hechos:
(1) Un ideal homogéneo $I$ en $S$ es primo si y sólo si para todos los elementos homogéneos $a,b\in S$ con $ab\in I$ , ya sea $a\in I$ ou $b\in I$ .
(2) Una intersección de ideales homogéneos es homogénea (esto es obvio a partir de la caracterización de la homogeneidad como la propiedad de contener todos los componentes homogéneos de todos los elementos).
Ahora, para un ideal primo $\mathfrak{p}$ dejamos que $\mathfrak{p}^h$ denotan el ideal de $S$ generado por los elementos homogéneos de $\mathfrak{p}$ . Es visiblemente homogéneo, y es primo por (1). El radical de un ideal $I$ es la intersección de los ideales primos que contienen $I$ y si $I$ es homogéneo, esto coincide con la intersección de todos los ideales primos homogéneos que contienen $I$ . Está claro que, independientemente de la homogeneidad de $I$ La primera intersección está contenida en la segunda. A la inversa, supongamos que $a\in S$ está en todo ideal primo homogéneo que contenga $I$ . Si $\mathfrak{p}$ es cualquier primo que contenga $I$ entonces $\mathfrak{p}^h\subseteq\mathfrak{p}$ es un primo homogéneo que también contiene $I$ (porque contiene los elementos homogéneos de $I$ y $I$ es generada por estos elementos por suposición). Así que $r\in\mathfrak{p}^h\subseteq\mathfrak{p}$ . Así, $\sqrt{I}$ es homogénea por (2).
Alternativamente, si estás dispuesto a invocar el lema de Zorn, que implica que todo ideal primo está contenido en un ideal primo mínimo, entonces el radical de $I$ es la intersección de los ideales primos mínimos sobre $I$ y como tal ideal primo $\mathfrak{p}$ contiene $\mathfrak{p}^h$ , también un primo que contiene $I$ todo ideal primo mínimo sobre un ideal homogéneo como $I$ debe ser homogénea en sí misma.
En realidad, la caracterización del radical de $I$ como la intersección de los ideales primos que contienen $I$ ya utiliza el lema de Zorn, por lo que también se podría utilizar el segundo argumento, más corto... a menos que se quiera evitar por completo a Zorn, en cuyo caso mi respuesta es inadmisible.
