Integral $\int_0^1\sqrt{1-x^4}dx$

Question

Se me pide que muestre $\int_0^1\sqrt{1-x^4}dx=\frac{\{\Gamma(1/4)\}^2}{6\sqrt{2\pi}}$ . Sé que la función gamma está definida por $\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx$ . Intenté sustituir $x^2=\sin(t)$ pero no pudo ir más allá. Realmente me pregunto cómo una función radical puede convertirse en una exponencial :-0 Gracias.

Answer 1

HINT : Cambio de variables $t=x^4$ y utilizar Integral de Euler del primer tipo para expresar la respuesta como función beta.

Answer 2

$\int \sqrt{1-x^4}dx$

Utilizando la integración por partes, digamos que u(x)= $\sqrt{1-x^4}$ v'(x)=1. La regla de la cadena y la regla del exponente muestran que u'(x)= $-\frac{2x^3}{\sqrt{1-x^4}}$ y v(x) es simplemente x.

$\int \sqrt{1-x^4}dx = x\sqrt{1-x^4}- \int\frac{-2x^4}{\sqrt{1-x^4}}dx$

$\int \sqrt{1-x^4}dx = x\sqrt{1-x^4}-\int \frac{2-2x^4}{\sqrt{1-x^4}}dx+\int \frac{2}{\sqrt{1-x^4}}dx$

$\int \sqrt{1-x^4}dx = x\sqrt{1-x^4}-2\int \sqrt{1-x^4}dx+2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx$ Ahora, añadimos $2\int \sqrt{1-x^4}dx $ a ambos lados

$3\int \sqrt{1-x^4}dx = x\sqrt{1-x^4}+2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx$

Ahora, dividimos ambos lados por 3

$\int \sqrt{1-x^4}dx= \frac{x\sqrt{1-x^4}+2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx}3$

$\int \sqrt{1-x^4}dx= \frac{x\sqrt{1-x^4}+2\int \frac{1+x²}{\sqrt{1-x^4}}dx-2\int\frac{x²}{\sqrt{1-x^4}}dx}3$

Muy bien, ahora hagamos un rápido desvío y resolvamos para $\int \frac{1+x²}{\sqrt{1-x^4}}dx$

$\int\frac{1+x²}{\sqrt{1-x^4}}dx=\int\frac{1+x²}{\sqrt{(1-x²)(x²+1)}}dx=\int\sqrt{\frac{1+x²}{1-x²}}dx$

sustituir u= $sin^{(-1)}(x)$ $\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x²}}$ Así que $dx=\sqrt{1-x²} du$

$\int \sqrt{1+sin²(u)}du$

Esto se reduce a la integral elíptica incompleta de segundo tipo. E(u|-1)+ $C$

u= $sin^{(-1)}(x)$

$\int \frac{1+x²}{\sqrt{1-x^4}}dx=E(sin^{(-1)}(x)|-1)+C$

Introduzcámoslo en la ecuación original $\int\sqrt{1-x^4}dx=\frac{x\sqrt{1-x^4}+2E(sin^{(-1)}(x)|-1)-2\int\frac{x²}{\sqrt{1-x^4}}dx}3$

Ahora, resolvamos para $\int\frac{x²}{\sqrt{1-x^4}}dx $

sustituir v= $sin^{(-1)}(x²)$ , x= $\sqrt{sin(v)}$ , dx/dv= $\frac{cos(v)}{2\sqrt{sin(v)}}$

$\int\frac{sin(v)}{\sqrt{1-sin²(v)}}•\frac{cos(v)}{2\sqrt{sin(v)}}dv$

$\int\frac{\sqrt{sin(v)}}{cos(v)}*\frac{cos(v)}2 dv$

$\frac{1}{2}\int\sqrt{sin(v)}dv$

sustituir w= $\frac{}{2}$ -v, dv=-dw

$-\frac{1}{2}\int\sqrt{sin(\frac{}2-w)}dw$

$-\frac{1}{2}\int\sqrt{cos(w)}dw$

$-\frac{1}{2}\int\sqrt{1-2sin²(\frac{w}2)}dw$

E( $\frac{w}2$ |2)+C E( $\frac{\frac{}2-v}2$ |2)+C E( $\frac{\frac{}2-sin^{(-1)}(x²)}2$ |2)+C E( $\frac{cos^{(-1)}(x²)}2$ |2)+C

Enchúfalo de nuevo, $\int\sqrt{1-x^4}dx= \frac{x\sqrt{1-x^4}+2E(sin^{(-1)}(x)|-1)-2E(\frac{cos^{(-1)}(x²)}2|2)}3$ +C

Ahora, esto puede parecer la solución final, pero después de enchufarlo en mi calculadora, he visto que hay una pequeña trampa, el valor E( $\frac{cos^{(-1)}(x²)}2$ |2) puede ser positiva o negativa. He llegado a la conclusión de que, como en el caso de la derivada de $sec^{(-1)}$ (x) su signo depende del valor real de x. Así que la solución final es $\int\sqrt{1-x^4}dx= \frac{x\sqrt{1-x^4}+2E(sin^{(-1)}(x)|-1)+2\frac{\sqrt{x²}}{x}E(\frac{cos^{(-1)}(x²)}2|2)}3$ +C

cuando probé por primera vez esta fórmula (sí, ya tenía la prueba escrita, literalmente el otro día había hecho esto por casualidad jaja), mis resultados fueron que la respuesta no es $\frac{\Gamma(\frac{1}4)²}{6\sqrt{2}}$ Sin embargo, después de la cuestión con el "signo del número real de x", había encontrado que su respuesta es correcta, pero lamentablemente mi fórmula no tiene ninguna prueba concluyente para demostrarlo. Pero no voy a borrar esto porque #1 es REALMENTE difícil escribir todas las fórmulas en who_cares_what_language++ en un teléfono móvil, #2 porque entre la comprobación de que todas mis fórmulas están escritas correctamente enviando y reenviando, me había dado cuenta de algunos comentarios sobre mi respuesta, aquí está mi respuesta a ellos: Sé que estás tratando de ser lo más útil posible, y me alegro de que lo estés haciendo, pero todo el mundo en este sitio web tiene que dejar de ser tan pasivo agresivo hacia los demás. Todo el mundo aquí compite por tener "más razón" que los demás, pero las matemáticas no funcionan así. O tienes razón o no, y si te equivocas no significa que seas tonto, sino que estás probando nuevas ideas, y a veces tus ideas no funcionan, o a veces no se pueden verificar. Sin embargo, cometer errores no es un signo de ignorancia, sino de innovación, y aunque lamento que mi respuesta no te haya servido de nada, sé que alguien de aquí probablemente utilizará mi trabajo para ayudarle a pensar en un enfoque diferente. Así que espero que tengas en cuenta esta evidencia, porque no es una buena señal que, incluso en un sitio web con fines estrictamente intelectuales, no seamos inmunes a la mezquina actitud de "yo tengo razón, tú no, jajaja" de Internet. Sí, es importante corregir los errores de los demás cuando no son del todo correctos, pero hay que ser respetuoso, dejar de cuestionar la inteligencia de los demás. Y lo más importante, ¡¡¡DESDE luego es difícil escribir ecuaciones aquí!!! -Máquina de las matemáticas