Si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^n,b^n)=1$

Question

Si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^n,b^n)=1$

Esto parece claro, pero no sé cómo probar esto..

Intentaba demostrarlo por inducción de forma que si $a^{n+1}$ = $rs$ y $b^{n+1}$ = $rt$ entonces $s,t$ son divisibles por $a,b$ respectivamente, pero creo que este es un camino equivocado..

Answer 1

Dejemos que $a = p_1 ... p_n$ y $b = q_1 ... q_m$ sea la factorización en primo de $a$ y $b$ (posiblemente con repetición). $gcd(a,b) = 1$ implica que $p_i \neq q_j$ para todos $1 \leq i \leq n$ y $1 \leq j \leq m$ . Por lo tanto, $a^k = p_1^k ... p_n^k$ y $b^k = q_1^k ... q_m^k$ tampoco tienen factores primos en común. Así que $gcd(a^k, b^k) = 1$ también.

Answer 2

Utilizamos el Teorema de Bézout. Recordemos que los enteros $c$ y $d$ son relativamente primos si existen enteros $x$ y $y$ tal que $cx+dy=1$ .

Supongamos que $\gcd(x,y)=1$ y que $x$ y $y$ sean números enteros tales que $ax+by=1$ . Entonces $(ax+by)^{2n-1}=1$ . Ahora imagina que se expande $(ax+by)^{2n-1}$ utilizando el Teorema Binomial. Hay $2n$ términos en la expansión. El primer $n$ términos son divisibles por $a^n$ y el último $n$ son divisibles por $b^n$ . Se deduce que hay números enteros $u$ y $v$ tal que $a^n u+b^n v=1$ . Así, $\gcd(a^n,b^n)=1$ .

Answer 3

Lema: $\gcd(a,b)=1\implies\gcd\left(a^2,b^2\right)=1$

Prueba: Por Bezout, $\gcd(a,b)=1$ implica $$ \begin{align} ax+by&=1\\ a^2x^2&=1-2by+b^2y^2\\ \left(2y-by^2\right)b&=1-a^2x^2\\ \left(2y-by^2\right)^2b^2&=1-2a^2x^2+a^4x^4\\ \left(2x^2-a^2x^4\right)a^2+\left(2y-by^2\right)^2b^2&=1 \end{align} $$ Por lo tanto, $\gcd\left(a^2,b^2\right)=1$ . $\qquad\square$

Corolario: $\gcd(a,b)=1\implies\gcd\left(a^{2^n},b^{2^n}\right)=1$

Prueba: Inducción mediante el lema. $\qquad\square$

Así, para cualquier $k$ podemos encontrar un $n$ para que $k\le2^n$ . El Corolario dice que hay $x_n$ y $y_n$ para que $$ a^{2^n}x_n+b^{2^n}y_n=1 $$ y por lo tanto, $$ a^k\left(a^{2^n-k}x_n\right)+b^k\left(b^{2^n-k}y_n\right)=1 $$ Así, $\gcd(a,b)=1\implies\gcd\left(a^k,b^k\right)=1$ .

Answer 4

Sugerencia $\rm\ n,m>0,\,$ prime $\rm\,p\mid a^n,b^m\Rightarrow\:p\mid a,b\:$ por la primera $\rm\:p\mid d_1\cdots d_k\Rightarrow p\mid d_1\, $ o $\rm\,\ldots\,$ o $\rm \,p\mid d_k,\,$ por el lema de Euclides ( $k$ -extensión inductiva), o por existencia y unicidad de factorizaciones primarias.

O En términos más generales, véase mi publicar aquí en el "Freshmans Dream" para gcds o ideales.

O El lema de Gauss (GL) ofrece una demostración rápida. Sea $\rm\:{\cal C}(f)\:$ denotan el contenido de un polinomio, es decir, el gcd de sus coeficientes. GL afirma $\rm\: {\cal C}(f\,g)\ =\ {\cal C}(f)\ {\cal C}(g)\ $ por lo que

$\rm\qquad\qquad\qquad\ \ 1\ =\ (a,b)\ =\ {\cal C}\:(a\ x + b)\ =\ {\cal C}\:(a\ x - b)$

$\rm\qquad\qquad \Rightarrow\ \ 1\ =\ {\cal C}\:((a\ x + b)\:(a\ x - b))\ =\ {\cal C}\:(a^2\: x^2 - b^2)\: =\: (a^2,b^2)$

La iteración muestra que $\rm\,(a^n,b^n) = 1\,$ para $\rm\:n = 2^k,\,$ por lo tanto, para todos $\rm\:n,\:$ por $\rm\,m\le n\,\Rightarrow\,(a^m,b^m)\:|\:(a^n,b^n),\,$ otro ejemplo de la Inducción "arriba y luego abajo" (o a intervalos).

Corolario $\,\ (A^n,B^n) = (A,B)^n$

Prueba $ $ Cancelación de $\, c^n := (A,B)^n $ lo reduce a lo anterior, por $\,(A/c,B/c) = (A,B)/c = 1,$ por el Ley distributiva de la DGC .

Answer 5

Asumiendo que estamos trabajando en un Dominio de Factorización Única, entonces las factorizaciones de $a^n$ y $b^n$ son simplemente las factorizaciones de $a$ y $b$ , repetido $n$ tiempos. Entonces, si hubiera un factor común entre $a^n$ y $b^n$ habría un factor común irreducible entre $a^n$ y $b^n$ y esto tendría que aparecer en las factorizaciones de ambos $a$ y $b$ y como $\operatorname{gcd}(a,b) = 1$ , $\operatorname{gcd}(a^n,b^n) = 1$ .