¿Es cada función inyectiva invertible?

Question

¿Es toda función inyectiva invertible? ¿Cómo podría probar tal cosa? (¿O es solo una condición necesaria pero no suficiente?)

Si $f:A\rightarrow B$ es inyectiva, entonces $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$ para todo $a,b\in A$.

Si $f(x)=y$ es invertible, existe alguna función $g(y)=x$.

No veo cómo unir estas cosas, así que cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Tienes que ser preciso: $f:A \to B$ es invertible si y solo si es biyectiva. Si es inyectiva todavía puedes invertir $f$ pero vista como una función $f:A \to f(A)$. Si eliges algún $y \in B \setminus f(A)$ no hay ningún $x \in A$ tal que $f(x)=y$ por lo tanto $f^{-1}(y)$ no tiene sentido

Answer 2

Debes distinguir una función izquierda invertible, una derecha invertible y una función invertible.

La función $f:A\to B$ es izquierda invertible si existe un inverso izquierdo
es decir $\exists g:B\to A: g(f(x))=x ~, \forall x\in A$

$f:A\to B$ es derecha invertible si existe un inverso derecho, es decir
$\exists g:B\to A: f(g(y))=y ~, \forall y\in B$

(las funciones izquierdas/derechas invertibles se pueden expresar en el orden inverso dependiendo del estilo en que se escriba la composición de dos funciones)

$f(x)$ es una inyección si y solo si es izquierda invertible.
$f(x)$ es una surjección, si y solo si es derecha invertible.
$f(x)$ es invertible, si y solo si es izquierda y derecha invertible.

Es fácil de demostrar que una función es invertible si y solo si tiene un inverso izquierdo y un inverso derecho (puedes comprobar fácilmente que en este caso son iguales).

Answer 3

Una función es invertible si y solo si es biyectiva (es decir, tanto inyectiva como sobreyectiva). La inyectividad es una condición necesaria para la invertibilidad pero no suficiente.

Ejemplo:

Define $f: [1,2] \to [2,5]$ como $f(x) = 2x$. Claramente esta función es inyectiva.

Ahora, si intentas encontrar la inversa, sería $f^{-1}(y) = \frac{y}{2}$. Pero nota que para $y \in (4,5]$, $f^{-1}(y)$ no existe ya que $f^{-1}(y): [2,5] \to [1,2]$. Por lo tanto, la inversa no es una función.

Adicional: Este no es el caso en los mapas. La inyectividad es suficiente para la invertibilidad (ya que la inversa no necesita ser una función, solo un mapa)

Answer 4

Si $f:A\to B$ es inyectiva, $f$ es invertible si y solo si $f(A)=B$. Pero $f:A\to f(A)$ siempre es invertible si $f:A\to B$ es inyectiva.

Answer 5

Para completitud...

Hay una variante de la idea de función que no incluye una noción de codominio. Por ejemplo, con esta noción, la función definida por $f(x) = x^2$ (donde $x$ es una variable real) "recuerda" que su dominio son todos los reales y que su imagen (a veces llamada su rango) son todos los reales no negativos, pero no le importa si se interpreta como un mapeo $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$, un mapeo $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, un mapeo $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$, o incluso algo más exótico.

Para esta variación específica sobre la noción de función, es cierto que cada función inyectiva es inversible.

Tengo la impresión de que esta noción de función fue popular en algún momento pero ya no lo es. Sin embargo, todavía persiste en cierta medida debido a la inercia: por ejemplo, la gente la aprendió de esa manera, así que la enseñaron a otros, conceptos relacionados han perdurado, ese tipo de cosas.

Para la noción más moderna de función, sí "recuerda" su codominio, y requerimos que el dominio de su inversa sea todo el codominio, por lo que una función inyectiva solo es inversible si también es biyectiva.