¿Es la cardinalidad del conjunto de incontables $G_{\delta}$ $\mathbb{R}$ es igual a la cardinalidad del continuo?

Question

Se sabe que sistemas cerrados de $\mathbb{R}$ satisface la hipótesis del continuo, es decir, cada subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ contable o de la cardinalidad del continuo.

¿Es la cardinalidad del conjunto de incontables $G_{\delta}$ $\mathbb{R}$ es igual a la cardinalidad del continuo?

Answer 1

Sí. De hecho, la cardinalidad de cada conjunto de Borel es contable o el tamaño continuo.

Hay una sencilla prueba para $G_\delta$. Cada $G_\delta$ es completamente metrizable, y, por lo tanto, contables o contiene un conjunto perfecto (que tiene una copia de un espacio de Cantor).

(Ver esta respuesta para la ex hecho, y el Cantor-Bendixson derivados, y teoremas relacionados por la segunda)