La diferencia entre convergencia en $L^{\infty}$ y casi uniformemente

Question

Estoy leyendo estas notas http://terrytao.wordpress.com/2010/10/02/245a-notes-4-modes-of-convergence/ por Terry Tao. Tengo una pregunta acerca de la diferencia entre la convergencia en $L^{\infty}$ y la convergencia casi uniforme.

Es la diferencia que la convergencia casi uniforme garantiza que usted puede conseguir la convergencia uniforme fuera de un conjunto de arbitrariamente pequeño, pero aún positivo de la medida, mientras que la convergencia $L^{\infty}$ obtiene convergencia uniforme fuera de un conjunto de medir exactamente cero? Definiciones formales seguir para hacer que las ideas precisas.

Deje $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ser una medida en el espacio. Deje $f, f_1, f_2, \ldots$ ser medibles funciones.

Decimos que $f_n \to f$ $L^{\infty}$ si para todas las $\varepsilon > 0$ hay un $N_{\varepsilon}$ tal que $|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon$ $\mu$--una.e. al $n \geq N_{\varepsilon}$.

Decimos que $f_n \to f$ casi uniformemente si para todas las $\varepsilon > 0$ hay un conjunto $E \in \mathcal{M}$ $\mu(E) \leq \varepsilon$ tal que $f_n \to f$ uniformemente en $E^c$. I. e., para cada una de las $\delta > 0$ hay un $N_{\delta}$ tal que $|f_n(x) - f(x)| \leq \delta$ todos los $x \in E^c$ al $n \geq N_{\delta}$.

Answer 1

He aquí un ejemplo para ver la diferencia:

Considerar la secuencia de las funciones de $f_n$ donde $f_n(x)= 1$, siempre que $\frac{-1}{n}<x<\frac{1}{n}$ y cero en caso contrario. Estas funciones son claramente medibles. También, el punto de sabios límite de la función $f$ que es cero en $R \backslash\{0\}$$f(0)=1$. Finalmente, uno puede mostrar que esta converge casi uniformemente (Por acortamiento de los intervalos pequeños, centrado alrededor de $0$), pero no en $L^\infty$(Ya que no podemos tales picar).

Ya que estoy en un apuro, lo único que podría dar un boceto. Tal vez yo podría tratar y aclarar cualquier duda que tengan en los comentarios?

Answer 2

Sí, eso es correcto.

Es un buen ejercicio para demostrar que su definición de la $L^\infty$ convergencia es equivalente a:

Hay un conjunto $E \subset \mathcal{M}$ $\mu(E) = 0$ tal que $f_n \to f$ uniformemente en $E^c$.

La cosa a notar es que su definición debe ampliarse como:

Para todos los $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todos los $n \ge N$ existe $F \in \mathcal{M}$ tal que $\mu(F) = 0$ $|f_n(x) - f(x)| \le \epsilon$ todos los $x \in F^c$.

Es decir, el conjunto $F$ puede depender de $\epsilon$$n$. En la demostración de la equivalencia con mi declaración, usted tiene que encontrar un único conjunto $F$ que funciona para todas las $\epsilon,n$.