Un bestiario sobre las adjunciones

Question

¿Cuál es su adjunto favorito? Siguiendo la filosofía de Mac Lane los colindantes están en todas partes Así que me gustaría hacer una lista (posiblemente, pero no probablemente) exhaustiva de las adjunciones a las que uno se enfrenta al estudiar matemáticas. En aras de la claridad, me gustaría que siguieran un esquema general, un ejemplo muy ingenuo del cual puede ser el siguiente:

1. Functores F y G entre los gatos C y D
2. ¿Es la adjunción una (co)reflexión?
3. ¿Admite el adjunto izquierdo un adjunto izquierdo por sí mismo?
4. Cualquier cosa que quieras añadir

Obviamente eres totalmente libre de ampliarlo, revertirlo...

También me gustaría captar algo más que una mera enumeración: es decir, enumerar todas las adjunciones $\mathbf{Groups}\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ , $\mathbf{Monoids}\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ , $\mathbf{Mod}_R\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ es ciertamente algo bueno, pero sería ligeramente mejor decir que todos estos pares provienen de un "esquema general de adjunción" $$\text{generated object} \dashv \text{forgetful functor}$$ que puede ser (si no me equivoco) estudiado para un tipo general de estructura algebraica. Por lo tanto, sería mejor escribir algún tipo de "tarjeta de referencia" sobre:

1. El functor diagonal $\Delta_\mathbf J\colon \mathbf C\to \mathbf C^\mathbf J$ enviando $C\in\text{Ob}_\mathbf C$ en el diagrama constante sobre $C$ admite un adjunto izquierdo y derecho (límite directo e inverso).
2. Una vez que haya fijado un conjunto $J$ Aquí hay una adición entre $\mathbf{Sets}/J$ y $\mathbf{Sets}^J$ definidos por los funtores $L\colon h\in \mathbf{Sets}/J\mapsto \big(h^\leftarrow(\{j\}\big)_{j\in J}$ y $M\colon \{H_j\}_{j\in J}\mapsto \big(\coprod_{j\in J} H_j\to J\big)\in \mathbf{Sets}/J$ que resulta ser una equivalencia
3. Existe una unión entre $\mathrm{PSh}(X)$ y $\mathbf{Top}/X$ para cualquier espacio topológico $X$ ( $\text{bundle of germs}\dashv\text{(pre)sheaf of sections}$ ), que resulta ser una equivalencia si restringimos...
4. Dado un anillo $R$ el functor $R[\;\;]\colon \mathbf{Groups}\to \mathbf{Rings}$ enviando un grupo en su anillo de grupo admite un adjunto derecho, a saber $U\colon R\mapsto R^\times$ (unidades en $R$ ).
5. El functor de inclusión $\mathbf{Kelley}\to\mathbf{Top}$ admite un adjunto derecho, el kelleyfication de un espacio topológico
6. (Siguiendo a Gabriel&Zisman) El functor de inclusión entre categorías (pequeñas) $\mathbf{cat}$ y los (pequeños) groupoides $\mathbf{Gpds}$ admite un adjunto izquierdo ( $\mathbf{C}\mapsto \mathbf{C}[\text{Mor}_\mathbf{C}^{-1}]$ en la notación utilizada para el cálculo de fracciones ) y un adjunto derecho ( $\mathbf{C}\mapsto \mathbf{C}^\times$ , enviando una categoría en el grupito obtenida borrando toda flecha no invertible).
7. ...

Siéntase libre de decir que es una pregunta tonta o aburrida.

Answer 1

Consideremos un conjunto totalmente ordenado $(L,\leq)$ con la propiedad de mínimo límite superior, más para cada elemento $b$ de $L$ una operación $+b\colon L\to L$ para que $a_1\leq a_2$ implica $a_1+b\leq a_2+b$ .

Entonces podemos definir una operación $-b$ enviando cada $c$ a $c-b=\sup\{d:d+b\leq c\}$ que existe porque el conjunto totalmente ordenado tiene la propiedad de límite superior mínimo (y cuando $+b$ tiene la propiedad adicional de que $a_1+b=a_2+b$ implica $a_1=a_2$ , entonces esto da el elemento único $a$ para que $a+b=c$ ).

Desde un punto de vista categórico, el poset es una categoría con un morfismo único entre dos elementos cualesquiera, $+b$ es un functor de la categoría a sí misma, y $c-b$ es el reflejo de $c$ a lo largo de $+b$ . Por lo tanto, la operación $-b$ , que es la sustracción de $b$ es el adjunto izquierdo de la operación $+b$ , que es la adición de $b$ . Además, cuando $+b$ es la evaluación parcial de una operación binaria de modo que $b_1\leq b_2$ implica $a+b_1\leq a+b_2$ entonces los adjuntos de la izquierda se ensamblan en un functor de sustracción de dos variables, covariante (que preserva el orden) en la primera variable, y contravariante (que invierte el orden) en la segunda variable.

Answer 2

Un tipo muy general de pares adyacentes de funtores que surgen en el álgebra es el siguiente:

Dejemos que $\mathcal{P}$ sea una operada (algebraica), $\mathcal{C}$ una cooperada, y que $\alpha$ sea un morfismo de torsión de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{P}$ . Entonces $\alpha$ induce una conjunción barra-cobarra $$B_\alpha:\text{dg $ \ de la que se trata $-alg.}\longleftrightarrow\text{dg $ \ de la que se trata $-coalg.}:\Omega_\alpha.$$ Un ejemplo estándar de esto es la habitual unión barra-cobarra entre álgebras asociativas dg (aumentadas) y álgebras cocomutativas (conilpotentes).

Referencia: B. Vallette, Teoría de la homotopía de las álgebras de homotopía , página 5.