Un bestiario sobre las adjunciones

Question

¿Cuál es su adjunto favorito? Siguiendo la filosofía de Mac Lane los colindantes están en todas partes Así que me gustaría hacer una lista (posiblemente, pero no probablemente) exhaustiva de las adjunciones a las que uno se enfrenta al estudiar matemáticas. En aras de la claridad, me gustaría que siguieran un esquema general, un ejemplo muy ingenuo del cual puede ser el siguiente:

1. Functores F y G entre los gatos C y D
2. ¿Es la adjunción una (co)reflexión?
3. ¿Admite el adjunto izquierdo un adjunto izquierdo por sí mismo?
4. Cualquier cosa que quieras añadir

Obviamente eres totalmente libre de ampliarlo, revertirlo...

También me gustaría captar algo más que una mera enumeración: es decir, enumerar todas las adjunciones $\mathbf{Groups}\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ , $\mathbf{Monoids}\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ , $\mathbf{Mod}_R\leftrightarrows\mathbf{Sets}$ es ciertamente algo bueno, pero sería ligeramente mejor decir que todos estos pares provienen de un "esquema general de adjunción" $$ \text{generated object} \dashv \text{forgetful functor} $$ que puede ser (si no me equivoco) estudiado para un tipo general de estructura algebraica. Por lo tanto, sería mejor escribir algún tipo de "tarjeta de referencia" sobre:

1. El functor diagonal $\Delta_\mathbf J\colon \mathbf C\to \mathbf C^\mathbf J$ enviando $C\in\text{Ob}_\mathbf C$ en el diagrama constante sobre $C$ admite un adjunto izquierdo y derecho (límite directo e inverso).
2. Una vez que haya fijado un conjunto $J$ Aquí hay una adición entre $\mathbf{Sets}/J$ y $\mathbf{Sets}^J$ definidos por los funtores $L\colon h\in \mathbf{Sets}/J\mapsto \big(h^\leftarrow(\{j\}\big)_{j\in J}$ y $M\colon \{H_j\}_{j\in J}\mapsto \big(\coprod_{j\in J} H_j\to J\big)\in \mathbf{Sets}/J$ que resulta ser una equivalencia
3. Existe una unión entre $\mathrm{PSh}(X)$ y $\mathbf{Top}/X$ para cualquier espacio topológico $X$ ( $\text{bundle of germs}\dashv\text{(pre)sheaf of sections}$ ), que resulta ser una equivalencia si restringimos...
4. Dado un anillo $R$ el functor $R[\;\;]\colon \mathbf{Groups}\to \mathbf{Rings}$ enviando un grupo en su anillo de grupo admite un adjunto derecho, a saber $U\colon R\mapsto R^\times$ (unidades en $R$ ).
5. El functor de inclusión $\mathbf{Kelley}\to\mathbf{Top}$ admite un adjunto derecho, el kelleyfication de un espacio topológico
6. (Siguiendo a Gabriel&Zisman) El functor de inclusión entre categorías (pequeñas) $\mathbf{cat}$ y los (pequeños) groupoides $\mathbf{Gpds}$ admite un adjunto izquierdo ( $\mathbf{C}\mapsto \mathbf{C}[\text{Mor}_\mathbf{C}^{-1}]$ en la notación utilizada para el cálculo de fracciones ) y un adjunto derecho ( $\mathbf{C}\mapsto \mathbf{C}^\times$ , enviando una categoría en el grupito obtenida borrando toda flecha no invertible).
7. ...

Siéntase libre de decir que es una pregunta tonta o aburrida.

Answer 1

Me gustaría mencionar un par de ejemplos no estándar.

1. El functor de conjunto subyacente de $\mathbf{Top}$ a $\mathbf{Set}$ tiene un a la derecha adjunto (no sólo adjunto izquierdo): el functor que dota a cada conjunto de la topología indiscreta. El hecho de que el functor de conjuntos subyacentes tenga adjuntos a ambos lados es la razón de que, para los espacios topológicos, los conjuntos subyacentes de todas las construcciones categóricas estándar (productos, coproductos, límites, colímites, etc.) sean las correspondientes construcciones de conjuntos subyacentes; así, no sólo el conjunto subyacente de un producto es el producto (cartesiano) de los conjuntos subyacentes, sino que también obtenemos que el conjunto subyacente de un coproducto es el coproducto (unión disjunta) de los conjuntos subyacentes.

2. Asimismo, el functor de olvido de $\mathbf{Group}$ a $\mathbf{Monoid}$ tiene adjuntos en ambos lados: el funtor que mapea un monoide a su grupo de unidades es el adjunto derecho del funtor olvido, mientras que el funtor que envía el monoide a su grupo envolvente universal es el adjunto izquierdo.

3. Dada cualquier categoría $\mathbf{C}$ que tiene productos y coproductos para todos los pares, definir $\mathbf{C}\times\mathbf{C}$ para ser la categoría de todos los productos $A\times B$ con $A,B\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C})$ y flechas formadas por pares $(f,g)\colon A\times B\to C\times D$ , donde $f\in\mathbf{C}(A,C)$ y $g\in\mathbf{C}(B,D)$ . El functor diagonal $\Delta\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C}\times\mathbf{C}$ enviando $A$ a $A\times A$ y $f$ a $(f,f)$ tiene un adjunto a la izquierda y a la derecha: el adjunto a la derecha es el functor producto, tomando $(A,C)$ a $A\times C$ el adjunto izquierdo es el functor coproducto, tomando $(A,C)$ a $A\amalg C$ .

4. Para una categoría de álgebras bastante natural en la que el functor de conjuntos subyacente tiene no colindante, deje que $\mathbf{Div}$ sea la categoría de grupos abelianos divisibles. Afirmo que $\mathbf{Div}$ no tiene objetos libres.

   Para ver esto, observe lo siguiente:

   Propuesta. Dejemos que $\mathbf{C}$ ser una categoría concreta. Si $\mathbf{C}$ tiene un objeto libre en un generador, entonces los monomorfismos en $\mathbf{C}$ son funciones uno a uno.

   Prueba. Dejemos que $f\colon A\to B$ sea un monomorfismo en $\mathbf{C}$ . Esto significa que para todos los objetos $C$ y todos los morfismos $g,h\colon C\to A$ , si $fg = fh$ entonces $g=h$ (es decir, $f$ es cancelable por la izquierda). Sea $F(x)$ sea el objeto libre en un generador, $x$ y que $a,a'\in A$ sea tal que $f(a)=f(a')$ . Sea $g,h\colon F(x)\to A$ sean los mapas inducidos por los mapas teóricos de conjuntos $\mathfrak{g}\colon\{x\}\to A$ dado por $\mathfrak{g}(x) = a$ y $\mathfrak{h}\colon\{x\}\to A$ dado por $\mathfrak{h}(x)=a'$ . Entonces $fg=fh$ Por lo tanto $g=h$ Por lo tanto $\mathfrak{g}\mathfrak{h}$ Por lo tanto $a=a'$ , lo que demuestra que $f$ es uno a uno. QED

   Para demostrar que $\mathbf{Div}$ no tiene objetos libres en un generador, considere el homomorfismo $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Se trata de un monomorfismo en $\mathbf{Div}$ : dejar $g,h\colon D\to\mathbb{Q}$ sea tal que $fg=fh$ . Supongamos que $d\in D$ es tal que $g(d)\neq h(d)$ . Entonces $g(d)-h(d)=n\in\mathbb{N}$ , $n\neq 0$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $n\geq 1$ . Sea $x\in D$ sea tal que $(n+1)x=d$ . Entonces $g(x)\neq h(x)$ y $$(n+1)(g(x)-h(x)) = g((n+1)x) - h((n+1)x) = g(d)-h(d) = n.$$ Por lo tanto, $g(x)-h(x) = \frac{n}{n+1}\notin\mathbb{Z}$ . Pero como $fg=fh$ entonces $f(g(x)-h(x)) = 0 + \mathbb{Z}$ . Esto es imposible ya que $\frac{n}{n+1}\notin\mathbb{Z}$ . La contradicción surge de la suposición de que existe $d\in D$ tal que $g(d)\neq h(d)$ Por lo tanto $g=h$ . Esto demuestra que $f$ es un monomorfismo.

   Desde $f$ es un monomorfismo no uno a uno en $\mathbf{Div}$ se deduce de la proposición que $\mathbf{Div}$ no tiene objetos libres en un generador. Por lo tanto, el functor de conjunto subyacente $\mathbf{U}\colon\mathbf{Div}\to\mathbf{Set}$ no tiene un adjunto izquierdo.

Answer 2

No es la adición más importante que existe, pero para mí fue el ejemplo que me hizo entender que "no, realmente, son en todas partes ".

Dada una función $f:A\to B$ el functor de imagen inversa $f^{-1}:\mathscr{P}(B)\to\mathscr{P}(A)$ (considerando los conjuntos de potencias como las categorías obvias de preorden) tiene un adjunto izquierdo y uno derecho. Su adjunto izquierdo es la función imagen directa $f[-]$ su adjunto derecho Awodey se refiere a la "imagen dual" que toma $a\in\mathscr{P}(A)$ al mayor subconjunto de $b\in \mathscr{P}(B)$ avec $f^{-1}[b]\subseteq a$ .

Es fácil de calcular, bonito y puede dar a un recién llegado una idea de lo que hacen los adjuntos.

Answer 3

Este es un ejemplo de la lógica, y es un ejemplo, en cierto sentido, de la adjunción libre-olvidable. Sea $\textbf{Form}_\mathcal{L}(x_1, \ldots, x_n)$ sea la categoría poset de fórmulas lógicas de primer orden sobre un lenguaje fijo $\mathcal{L}$ avec $n$ variables libres $x_1, \ldots, x_n$ , con una flecha $p \to q$ si y sólo si $q$ puede derivarse de $p$ . Para simplificar, supondremos que los nombres de las variables ligadas se extraen de un segundo alfabeto. Entonces, $\textbf{Form}_\mathcal{L}(x_1, \ldots, x_n)$ es una subcategoría completa de $\textbf{Form}_\mathcal{L}(t, x_1, \ldots, x_n)$ y el functor de inclusión $U$ admite un adjunto izquierdo y uno derecho: $$(\exists t) \dashv U \dashv (\forall t)$$ De hecho, si $\varphi$ es un $n$ -y el predicado $\psi$ un $(n+1)$ -predicado de la ley, $$\Updownarrow \frac{(\exists \alpha) \psi (\alpha, x_1, \ldots, x_n) \rightarrow \varphi (x_1, \ldots, x_n)}{\psi (t, x_1, \ldots, x_n) \rightarrow \varphi (x_1, \ldots, x_n)}$$ $$\Updownarrow \frac{\varphi (x_1, \ldots, x_n) \rightarrow \psi (t, x_1, \ldots, x_n)}{\varphi (x_1, \ldots, x_n) \rightarrow (\forall \alpha) \psi (\alpha, x_1, \ldots, x_n)}$$ Así, $\textbf{Form}_\mathcal{L}(x_1, \ldots, x_n)$ es una subcategoría reflexiva y coreflexiva de $\textbf{Form}_\mathcal{L}(t, x_1, \ldots, x_n)$ .

Answer 4

(Respondiendo a una petición...)

El functor de olvido de la conmutativa $k$ -algebras ( $k$ sí mismo un anillo conmutativo) a los conjuntos tiene adjunto a la izquierda el functor que forma el libre conmutativo $k$ -en conjuntos dados. El caso de que el conjunto sea un singleton produce $k[x]$ . (Me gusta este ejemplo porque explica lo que es un "indeterminado").

Del mismo modo, los funtores olvidadizos de grupos a conjuntos tienen a la izquierda adyacentes que forman los correspondientes objetos libres "en" un conjunto.

Para los campos $k\subset K$ (o anillos conmutativos...), por ejemplo el functor parcialmente olvidado ("restricción") de módulos K a módulos k tiene un adjunto izquierdo y un adjunto derecho, en general no iguales, ambos llamados "extensión de escalares". El adjunto izquierdo es M-> $M\otimes_kK$ y el adjunto derecho es M-> $Hom_k(K,M)$ .

El functor de restricción análogo para grupos (por ejemplo, finitos) tiene también adjuntos a la izquierda y a la derecha, que hacer coinciden con los grupos finitos (tal vez en la característica cero). El adjunto al functor olvido es la "inducción", y la relación de adjunción es la reciprocidad de Frobenius.

En situaciones más generales, por ejemplo con grupos p-ádicos, puede ocurrir que una de las dos reciprocidades de Frobenius sea válida y la otra no. Lo vi en el artículo de Cartier en Corvallis, y me desconcertó aún más, en su momento, el empeño que puso en demostrar que, sin embargo, el "otro" functor de inducción era un adjunto de algo (demostrando así su correcta exactitud, era la cuestión).

El siempre popular $Hom(A\otimes B,C)\approx Hom(A,Hom(B,C))$ , digamos que para los grupos abelianos.

El functor "Lie" que lleva un álgebra asociativa A al álgebra de Lie con soporte $[a,b]=ab-ba$ tiene como adjunto izquierdo el mapa de un álgebra de Lie a su álgebra envolvente universal.

La inclusión de gavillas a pregavillas tiene una sheafificación adyacente a la izquierda.

El functor de secciones globales es adjunto a la derecha del functor de gavilla constante.

El functor Stalk tiene como adjunto derecho el functor skyscraper-sheaf.

Oop, casi me olvido del ejemplo de tvs: el olvidadizo functor de espacios vectoriales topológicos localmente convexos a espacios vectoriales (algebraicos) (complejos) tiene un adjunto izquierdo, que topologiza un espacio vectorial como el colímite localmente convexo de todos los subespacios de dimensión finita (cada uno de los cuales tiene una única topología tvs). Todo mapa lineal de este tvs es continuo. Este ejemplo tiene un ligero valor adicional de diversión porque en la categoría de tvs no necesariamente convexas localmente los coproductos incontables (por ejemplo, de líneas) hacen no existe.

Answer 5

A muy Una adición importante para la teoría de la homotopía es el par $$|\cdot|:\mathbf{sSet}\longleftrightarrow\mathbf{CGHaus}:S$$ entre los conjuntos simpliciales y la categoría de espacios Hausdorff generados de forma compacta con la topología K. El adjunto izquierdo es la realización geométrica de un conjunto simplicial (geométricamente, se pegan los símiles básicos a lo largo de las caras comunes), y el adjunto derecho es el functor de cadena simplicial.

La importancia de esta adjunción radica en que, cuando las categorías están dotadas de sus estructuras de modelo estándar, es una adjunción de Quillen.