El sistema de Diophantine $a^2 + b^2 = c^2$, $a^2 + nb^2 = d^2$
da lugar a la curva elíptica
$$
E_n : y^2 = x (x+1) (x+n).
$$
Como es a menudo el caso para las familias de curvas elípticas con una simple ecuación,
esta familia tiene una larga historia, y todavía se resiste a una respuesta completa
a pesar de que hemos hecho un progreso considerable desde el siglo 19
(y anteriores) trabajo publicado en Dickson
Historia de la Teoría de los Números, Vol.2: Análisis De Diophantine
(ver la sección sobre "la concordancia de las formas").
Toma Cremona programa mwrank menos de un minuto para encontrar que
la secuencia de enteros $n > 1$ para los que no hay soluciones
en cero $a,b,c,d$ comienza
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 25, 26, 28, 29, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 46, 48, 51, 54, 55, 56, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 73, 75, 78, 80, 81, 84, 87, 88, 89, 91, 95, 96, 98, ... .
Estos son también los enteros $n \in [2,100]$ que $E_n$ tiene rango de cero
(el grupo de puntos de torsión es isomorfo con
$({\bf Z}/2{\bf Z}) \times ({\bf Z}/4{\bf Z})$
si $n$ es un cuadrado, y
$({\bf Z}/2{\bf Z}) \times ({\bf Z}/2{\bf Z})$ lo contrario).
En cada caso, esto puede ser demostrado con un Fermat estilo "$2$-descenso".
Para cada entero $n \in [2,100]$ no en la lista, $E_n$ rango $1$,
excepto para $n=31$, $52$, $71$, $74$, $79$ para que $E_n$ rango $2$.
[La OEIS parece contener ni la secuencia de arriba de $n$,
ni la secuencia complementaria para la que no hay nonero soluciones,
ni las mismas secuencias con $n$ reemplazado por $n-1$ que corresponde a
$y^2 = x (x-1) (x+n)$.]
Para $n \leq 100$ la solución mínima se presenta tan grande como
$$
(a,b,c,d) = (2873161, 2401080, 3744361, 22062761)
$$
para $n=83$. Extender el cálculo a $n \leq 200$ encuentra
la solución mínima
$$
(a,b,c,d) = (13265620549, 6755532420, 14886702349, 80460628949),
$$
para $n=138$, y también dos de los casos ( $n=124$ $n=195$ ) donde $E_n$
parece tener el rango de cero pero mwrank no puede demostrarlo.
Para que el sistema $a^2 + b^2 = c^2$, $a^2 + nb^2 = d^2$ en
la "forma de Weierstrass" $y^2 = x (x+1) (x+n)$, comience con el
parametrización $(a:b:c) = (t^2-1 : 2t : t^2+1)$ $a^2+b^2=c^2$
hasta el escalado, y encontrar $a^2+nb^2 = t^4 + (n-2) t^2 + 1$;
si esto es ser un cuadrado, se puede escribir como $(t^2-(2x+1))^2$
para algunos $x$ obtener $(n+x) t^2 = x (x+1)$; $x$ esto ha
una solución de $t$ fib $x (x+1) (x+n)$ es un cuadrado. Las soluciones
con $b=0$ provienen del subgrupo $E_n[2]$ consistente en la
"el punto en el infinito" y el tres $2$-torsión puntos en los que $y=0$;
si $n$ es un cuadrado, decir $n=m^2$, entonces también hay soluciones con $a=0$,
y estos provienen de $4$-torsión puntos como $(x,y) = (m,m^2+m)$.
De un no-torsión punto de $(x,y)$ podemos recuperar $(a:b:c:d)$
invirtiendo el procedimiento anterior, o mediante la duplicación $(x,y)$ en el grupo de la ley:
el nuevo punto se ha $x$-coordinar $(a/b)^2$, con cada uno de los factores
$x$, $x+1$, $x+n$ de $y^2$ plaza por separado.
