¿Podría ayudarme a entender este artículo (PRL 106:136806)?

Question

Me cuesta entender el artículo PRL 106:136806 (2011). Es muy citado, pero no puedo reproducir sus resultados. Permítanme resumir rápidamente el argumento de los autores y plantear mis preguntas.

Se trata de la transmisión de un electrón a través del defecto de línea que conecta dos semiplanos de grafeno mostrados en la figura anterior. Los autores afirman que, la transmisión depende del índice de valle $\tau = \pm 1$ . Su razonamiento es el siguiente. Recogen un electrón (con energía positiva) en el valle $\tau$ y escribimos el vector de estado como $$|\Phi_{\tau}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|A\rangle + ie^{-i\tau\alpha}|B\rangle).$$ Aquí $\alpha$ es el ángulo del vector de onda $\vec{q}$ respecto al punto de Dirac correspondiente. Para que tenga sentido, tengo que interpretar $$\langle\vec{r}|\nu\rangle = e^{i(\vec{K}_{\tau}+\vec{q})\cdot\vec{r}_{\nu}}, \ \nu =A,B.$$ Aquí $\vec{K}_{\tau} = (0,\tau \frac{2\pi}{3})$ . Reescriben $$|\Phi_{\tau}\rangle = \frac{1+ie^{-i\tau\alpha}}{2}|+\rangle + \frac{1-ie^{-i\tau\alpha}}{2}|-\rangle,$$ con $$|\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|A\rangle \pm |B\rangle).$$ Ahora lo afirman, $$\langle\vec{r}|-\rangle \equiv 0$$ para $\vec{r}$ en el defecto de la línea. Así, sólo $|+\rangle$ contribuye a la transmisión. Por lo tanto, concluyen $$T_{\tau} = |\langle +|\Phi_{\tau}\rangle|^2 = \frac{1}{2}(1+\tau\sin\alpha).$$ Aquí tengo una pregunta, por qué $\langle\vec{r}|-\rangle$ ¿Desaparecer en el defecto de la línea? Esto es absolutamente incomprensible para mí.

Cerca del final de este documento, los autores dieron un cálculo, que tampoco entiendo. Tratan el defecto de línea como un canal y los planos de medio grafeno como electrodos. Entonces escribieron $$T_{\tau} = \langle\tau|\Gamma G \Gamma G^{\dagger}|\tau\rangle.$$ Aquí $|\tau\rangle$ es el vector de estado de los átomos azules mostrados en la figura, $G$ la función de Green retardada para el canal (defecto de línea) y $\Gamma = i(\Sigma - \Sigma^{\dagger})$ la matriz de ensanchamiento en términos de la autoenergía $\Sigma$ . Aunque tengo mucha experiencia con funciones de Green de no equilibrio para cálculos de transporte, No entiendo esta expresión. Según tengo entendido, el operador $\Gamma G \Gamma G^{\dagger}$ actúa sobre los vectores de estado del canal, no sobre los electrodos. Pero los autores lo actúan sobre $|\tau\rangle$ que es un vector de estado de los electrodos.

¿Podría ayudarme? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Respuesta parcial a la primera parte de su pregunta:

Está escrito :

"Como cada término conmuta con el operador de reflexión, el Hamiltoniano completo debe conmutar con el operador de reflexión, y por lo tanto, los estados propios de H en la base adaptada a la simetría son base adaptada a la simetría son simétricos o anti simétricos con respecto al defecto de línea".

"Los estados antisimétricos tienen un nodo en el defecto de línea, y como resultado, no hay no hay elementos de matriz dentro del modelo de vecino más cercano acoplando los lados izquierdo y derecho".

En relación con la operación de reflexión, entonces dejemos que $|f_+\rangle$ sea el estado propio simétrico y $|f_-\rangle$ sea el estado propio antisimétrico (también son estados propios del hamiltoniano del grafeno).

Dejemos que $\vec r_\parallel$ y $\vec r_\perp$ sean las direcciones paralelas y ortogonales al defecto de línea.

Así que, $\langle \vec r|f_-\rangle_{|{line-defect}} = \langle \vec r|f_-\rangle_{|{\vec r_\perp= \vec 0}}= f_-(\vec r_\parallel,\vec r_\perp=\vec 0)=0$

Esto se debe a que $f_-(\vec r_\parallel, \vec r_\perp) = - f_-(\vec r_\parallel, -\vec r_\perp)$ que expresa el carácter antisimétrico del estado propio de reflexión.