En la definición del soporte de una función real $f$ en $X$ por qué es importante considerar el cierre del conjunto $S=\{x\in X:f(x)\neq0\}$ y no sólo $S$ ¿en sí mismo?
¿Por qué el cierre de $S$ llamado el "apoyo" de $f$ o ¿cómo surgió este nombre?
Una definición equivalente y posiblemente más natural del soporte es la siguiente: un punto $x$ es en apoyo de $f$ precisamente cuando $f$ no se desvanece idénticamente en un barrio de $x$ . Con esta definición, es evidente que el soporte está cerrado.
Desapareciendo en un barrio de $x$ es una propiedad mucho más significativa que la simple desaparición en $x$ y para muchos propósitos, es la condición natural a considerar.
¿Debería modificarse la definición más natural a " $x$ es en apoyo de $f$ precisamente cuando $f$ no se desvanece idénticamente en cada barrio de $x$ ?"
De hecho, es común (y sensato) exigir el cierre sólo si $X$ es un espacio topológico. Pero en realidad el término se aplica de forma más general para cualquier conjunto, y ahí no se puede utilizar el cierre. (Por ejemplo, cuando se trata del llamado espacio vectorial libre, o de secuencias, a veces se habla de funciones con soporte finito). En cuanto a por qué se toma el cierre, los conjuntos cerrados se comportan mejor que los conjuntos arbitrarios; si la función está definida en un espacio euclidiano (y este es un caso muy importante) entonces el soporte acotado significa incluso soporte compacto, y los conjuntos compactos se comportan en general muy bien. Además, a menudo se quiere restringir alguna integral de un producto al soporte de alguna de las funciones, y sólo se puede integrar sobre conjuntos medibles (así que los conjuntos arbitrarios no sirven), pensemos en la medida de Lebesgue. Sólo puedo adivinar cómo surgió este nombre; el soporte es el único subconjunto interesante del dominio de la función si nos concentramos en las propiedades de la función. A menudo se definen funciones para que tengan un soporte determinado, por ejemplo, la bola unitaria.
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Supongo que se define para ser el cierre, ya que decir "funciones de soporte precompacto" es mucho más tedioso que decir "funciones de soporte compacto".
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El nombre me parece bastante intuitivo. Es el subconjunto más pequeño del dominio de $f$ que "mantiene $f$ arriba". Es decir, si se considera $f$ sea un subconjunto del espacio $X\times\mathbb{R}$ de manera obvia, entonces $supp(f)\times\{0\}$ es el subespacio cerrado más pequeño que $f$ se "construye". Tomar el cierre es probablemente simplemente por conveniencia notacional, ya que los conjuntos cerrados se comportan mejor al hacer las cosas habituales que uno podría hacer con los soportes, como las intersecciones infinitas.