Forma más fácil de encontrar $\Re\int_{0}^{\pi/2} e^{e^{i\theta}} d\theta$

Question

¿Cómo podemos encontrar $$\Re\left[\int_0^{\large\frac{\pi}{2}} e^{\Large e^{i\theta}}d\theta\right]$$

En el más corto y más fácil manera posible?

No puedo pensar en algo bueno.

Answer 1

La respuesta puede ser expresada en términos de la integral del seno.

Deje $z=e^{i \theta}$.

Entonces

$$ \begin{align} \text{Re} \int_{0}^{\pi /2} e^{e^{i \theta}} \ d \theta = \text{Re} \frac{1}{i} \int_{C} \frac{e^{z}}{z} \ dz \end{align}$$ donde $C$ es la porción del círculo unitario en el primer cuadrante recorrido en sentido antihorario.

Pero desde $\displaystyle \frac{e^{z}}{z}$ es analítica en un simplemente conectado dominio que contiene $z=1$$z= i$,

$$ \begin{align} \int_{C} \frac{e^{z}}{z} \ dz &= \int_{1}^{i} \frac{e^{z}}{z} \ dz \\ &= \text{Ei}(i) - \text{Ei}(1) \\ &= \text{Ci}(1) + i \text{Si}(1) + \frac{i \pi}{2}- \text{Ei}(1) . \tag{1} \end{align} $$

Por lo tanto, $$\begin{align} \text{Re} \int_{0}^{\pi/2} e^{e^{i \theta}} \ d \theta &= \text{Re} \frac{1}{i} \Big( \text{Ci}(1) + i \text{Si}(1) + \frac{i \pi}{2}- \text{Ei}(1)\Big) \\ &= \text{Si}(1) + \frac{\pi}{2} \\ &\approx 2.5168793972. \end{align}$$

$(1)$ Integral exponencial de los imaginarios argumento

Answer 2

Alternativamente, usando la serie de Taylor de la función exponencial y la fórmula de Euler tenemos $$e^{\Large e^{i\theta}}=1+(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{(\cos2\theta+i\sin2\theta)}{2!}+\frac{(\cos3\theta+i\sin3\theta)}{3!}+\cdots$$ También tenemos $$\int_0^{\pi/2}\cos(n\theta)\;d\theta=\frac{\sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)}{n}=\begin{cases}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}&,\;\text{for $n$ is odd}\\\\0&,\;\text{for $n$ is even}\end{cases}$$ y la serie para la integral del seno, véase la fórmula $(9)$ $$\text{Si}\,(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$$ Por lo tanto $$\begin{align}\int_0^{\pi/2}\Re\left( e^{\Large e^{i\theta}}\right)d\theta&=\int_0^{\pi/2}\left(1 +\cos\theta+\frac{\cos2\theta}{2!}+\frac{\cos3\theta}{3!}+\cdots\right)d\theta\\&=\frac{\pi}{2}+1-\frac{1}{3\cdot3!}+\frac{1}{5\cdot5!}-\frac{1}{7\cdot7!}+\cdots\\&=\frac{\pi}{2}+\text{Si}\,(1)\end{align}$$

Answer 3

Aquí es su estilo de respuesta. Vamos a evaluar la integral mediante la diferenciación bajo el signo integral método. Considere la posibilidad de \begin{equation} I(\alpha)=\Re\left[\int_0^{\large\frac{\pi}{2}} e^{\Large e^{i\alpha\theta}}d\theta\right]=\int_0^{\large\frac{\pi}{2}} e^{\alpha\cos\theta}\cos(\alpha\sin\theta)\ d\theta\quad\Rightarrow\quad I(0)=\frac{\pi}{2} \end{equation} La integral anterior ha sido evaluado en este artículo: Cómo evaluar $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{\cos \theta}\cos( \sin \theta)\, d\theta$, donde el Señor juan y Tunk-Fey han publicado brillante respuestas allí. Usted puede consultar allí para ver el detalle. Reformular el paso final de sus respuestas, tenemos

\begin{equation} I(\alpha)=\Im\bigg[\,{\rm{Ei}}(i\alpha)\bigg]={\rm{Si}}(\alpha)+\frac{\pi}{2} \end{equation}

Por lo tanto

\begin{equation} I(1)=\Re\left[\int_0^{\large\frac{\pi}{2}} e^{\Large e^{i\theta}}d\theta\right]=\int_0^{\large\frac{\pi}{2}} e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)\ d\theta=\Im\bigg[\,{\rm{Ei}}(i)\bigg]={\rm{Si}}(1)+\frac{\pi}{2} \end{equation}

Answer 4

El uso de \begin{align} e^{x} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^{r}}{r!} \end{align} entonces \begin{align} I &= \int_{0}^{\pi/2} e^{e^{i \theta}} \, d\theta = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} \, \int_{0}^{\pi/2} e^{i \theta} \, d\theta \\ &= - i \,\sum_{r=0}^{\infty} \frac{e^{\pi i r/2} -1}{r \cdot r!} \\ &= -i \, \sum_{r=0}^{\infty} \frac{i^{r}-1}{r \cdot r!} \\ &= Si(1) + \frac{\pi}{2} + i \left( Ei(1) - Ci(1) \right) \end{align} donde $Si(x)$, $Ci(x)$, y $Ei(x)$ es la Integral del Seno, Coseno Integral, y la Integral Exponencial, respectivamente. Esto lleva a \begin{align} \Re\int_{0}^{\pi/2} e^{e^{i\theta}} d\theta &= \int_{0}^{\pi/2} e^{\cos(\theta)} \, \cos(\sin(\theta)) \, d\theta = Si(1) + \frac{\pi}{2} \\ \Im \int_{0}^{\pi/2} e^{e^{i\theta}} d\theta &= \int_{0}^{\pi/2} e^{\cos(\theta)} \, \sin(\sin(\theta)) \, d\theta = Ei(1) - Ci(1) \end{align}

Answer 5

$$e^{i\theta}=z\Rightarrow ie^{i\theta}d\theta=dz\Rightarrow d\theta=\frac{dz}{iz}$$ Considere la siguiente integral $$\oint_{\gamma}e^z\frac{dz}{iz}$$ donde $\gamma$ es un contorno de un cuarto de una unidad de disco. Tenga en cuenta que el integrando tiene una simple poste de $z=0$ por lo que el elegido contorno va a ir en el sentido del reloj alrededor de cero para un cuarto de círculo. La integral anterior se puede dividir de la siguiente manera $$\oint_{\gamma}e^z\frac{dz}{iz}=\int_{|z|=1,0\leq\theta\leq \pi/2}e^z\frac{dz}{iz}+\int^{\epsilon}_{1}e^{ix}\frac{dx}{ix}+\oint_{|z|=\epsilon,-\pi/2\leq\theta\leq 0}e^{z}\frac{dz}{iz}+\int^{1}_{\epsilon}e^{x}\frac{dx}{ix}$$ La primera integral es el de su interés $$\int_{|z|=1,0\leq\theta\leq \pi/2}e^z\frac{dz}{iz}=\int^{\pi/2}_{0}e^{e^{i\theta}}\,d\theta$$ La segunda integral puede escribirse como $\epsilon\to 0$, de la siguiente manera $$\lim_{\epsilon\to 0}\int^{\epsilon}_{1}e^{ix}\frac{dx}{ix}=\int^{0}_{1}e^{ix}\frac{dx}{ix}=-\int^{1}_{0}e^{ix}\frac{dx}{ix}$$ La tercera integral puede ser calculada usando fracciones de residuos teorema de $$\oint_{|z|=\epsilon,-\pi/2\leq\theta\leq 0}e^{z}\frac{dz}{iz}=-\frac{\pi}{2}i\cdot Res\{\frac{e^{z}}{iz},z=0\}=-\frac{\pi}{2}$$ Tenga en cuenta que el ángulo es negativo como la orientación es hacia la derecha para el pequeño arco de radio de $\epsilon$. La última integral se puede escribir en el límite como $$\lim_{\epsilon\to 0}\int^{1}_{\epsilon}e^{x}\frac{dx}{ix}=\int^{1}_{0}e^{x}\frac{dx}{ix}$$ Obtener todas las piezas juntas rendimientos $$\int^{\pi/2}_{0}e^{e^{i\theta}}\,d\theta-\int^{1}_{0}e^{ix}\frac{dx}{ix}-\frac{\pi}{2}+\int^{1}_{0}e^{x}\frac{dx}{ix}=0$$ La igualdad a cero proviene del hecho de que en el cuarto disco de contorno no hay polos para aplicar de Cauchy Teorema de los residuos. La última igualdad es equivalente a $$\int^{\pi/2}_{0}e^{e^{i\theta}}\,d\theta=\int^{1}_{0}e^{ix}\frac{dx}{ix}+\frac{\pi}{2}-\int^{1}_{0}e^{x}\frac{dx}{ix}=-i\int^{1}_{0}e^{ix}\frac{dx}{x}+\frac{\pi}{2}+i\int^{1}_{0}e^{x}\frac{dx}{x}$$ El uso de $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ \begin{align}\int^{\pi/2}_{0}e^{e^{i\theta}}\,d\theta&=-i\int^{1}_{0}(\cos(x)+i\sin(x))\frac{dx}{x}+\frac{\pi}{2}+i\int^{1}_{0}e^{x}\frac{dx}{x}\\&=\frac{\pi}{2}+\int^{1}_{0}\sin(x)\frac{dx}{x}+i\int^{1}_{0}(\frac{e^x}{x}-\cos(x))\,dx\end{align} Igualar las partes real e imaginaria de obtener $$\Re(\int^{\pi/2}_{0}e^{e^{i\theta}}\,d\theta)=\frac{\pi}{2}+\int^{1}_{0}\sin(x)\frac{dx}{x}$$