¿Hay formas de encontrar el $n$ -derivada de una función sin calcular la $(n-1)$ -¿la derivada?

Question

Digamos que tenemos una función $f(x)$ que es infinitamente diferenciable en algún punto.

¿Es posible encontrar $f^{(n)}(x)$ sin tener que encontrar primero $f^{(n-1)}(x)$ ? En caso afirmativo, ¿requiere menos esfuerzo que el cálculo de las derivadas anteriores (es decir $f'(x), f''(x), \cdots, f^{(n-1)}(x)$ )?

A menudo me resulta muy tedioso encontrar múltiples derivados, por lo que me preguntaba si alguien sabe la respuesta a esta pregunta.

Answer 1

Realmente depende de la función. Algunas de las funciones admitir compacto expresiones generales para el orden arbitrario de los derivados:

$$\begin{align*} \frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}x^n&=k!\binom{n}{k}x^{n-k}\\ \frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}\sin\,x&=\sin\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)\\ \frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}\cos\,x&=\cos\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)\\ \end{align*}$$

y como ya se ha mencionado, si su función satisface una buena ecuación diferencial, puede utilizar la ecuación diferencial para obtener una expresión general para sus derivados.

(Como un bono, la fórmula para la derivada de la función de potencia puede ser generalizado para el complejo de $k$, salvo los excepcionales valores de $n$ y $k$; este es el reino de las fracciones de cálculo. Las fórmulas para el seno y coseno no son tan simples en la general de casos complejos, sin embargo.)

En general, sin embargo, no siempre se tiene una bonita expresión. Esta página de ejemplo muestra un número de representaciones por la derivada de la función tangente. Ninguno de ellos se ven particularmente agradable. A veces, las funciones no permiten, incluso, realizar una expresión explícita para los derivados, como en el caso de la función de Lambert. (Tenga en cuenta que la última fórmula en la que la página requiere una auxiliar definición recursiva para los polinomios que aparecen en la diferenciación.)

Relatedly: fórmulas como la regla de Leibniz y la Faà di Bruno fórmula es útil a la hora de determinar las expresiones generales para los derivados de funciones más complicadas. También hay una serie de fórmulas aparece aquí.

Answer 2

Sí, por la amplia clase de funciones de admisión de la serie de expansiones tal que los coeficientes de satisfacer una constante coeficiente diferencia de la ecuación (recurrencia). En este caso los coeficientes (de ahí derivados) puede ser calculada de forma rápida en el polinomio de tiempo mediante la conversión a sistema de forma y repetidamente cuadrado el cambio de la matriz. Esto puede ser comprendido por examinar el caso especial de los números de Fibonacci - ver esto en la pregunta anterior. Una vez que usted entiende esto 2-dimensional caso debe quedar claro cómo se generaliza a mayor orden de coeficientes constantes recurrencias.

Buscar D-serie finita y holonomic funciones para aprender más.

Answer 3

Es posible escribir un único límite para la segunda derivada: $$f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$$ y probablemente mucho más complicados para los derivados superiores, pero no estoy seguro de que eso sea lo que estás buscando.

Fuente: Wikipedia .

Answer 4

Sí, hay muchas fórmula explícita para ello. Una de las más útiles es la de Cauchy de la integral fórmula que permite un contorno simple integral para dar esta información.

Pero, básicamente, cualquier fórmula que da los coeficientes en la expansión de la serie de obras. Simpson multihilo, por ejemplo, le da a la serie de términos de índice $m \pmod$ n. Usted puede componer estos operadores para obtener una fórmula para la mph coeficiente único, que puede ser expresada en términos de la función en las raíces de la unidad de veces que la variable, utilizando el estándar de expansión. O usted puede tirar fuera el coeficiente directamente con un límite:

$$\frac{D^m f(x)}{(1)_m} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{n}\left( \sum_{j=0}^{n-1} w_n^{-jm} f\left( w_n^j x\right)\right)}{x^m}$$

Donde $w_n$ es una raíz enésima de la unidad y $(1)_m$ es el pocchhammer.

Answer 5

He estado trabajando en el problema de encontrar fórmulas para la n-ésima derivada y la enésima anti derivada de primaria y funciones especiales para muchos años. Tengo muchos resultados que ya han sido publicados. Me estoy refiriendo a mi sitio web, donde se puede encontrar una respuesta a su pregunta. Aquí está el enlace a mi sitio web aquí.

Por ejemplo, En este papel, una solución completa al problema de encontrar la n-ésima derivada y la enésima anti derivada de la potencia exponencial de la clase ha sido dado. Acabo de leer la sección 6 en el papel, que responde a su pregunta para esta clase de funciones.