¿Por qué utilizamos operadores hermitianos en QM?

Question

La posición, el momento, la energía y otros observables producen medidas de valor real. El formalismo del espacio de Hilbert tiene en cuenta este hecho físico asociando los observables a operadores hermitianos ("autoadjuntos"). Los valores propios del operador son los valores permitidos del observable. Como los operadores hermitianos tienen un espectro real, todo va bien.

Sin embargo, también existen operadores no hermitianos con valores propios reales. Consideremos la matriz triangular real:

$$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 0 \\ 5 & 9 & 3 \end{array} \right) $$

Obviamente, esta matriz no es hermitiana, pero tiene valores propios reales, como puede comprobarse fácilmente.

¿Por qué esta matriz no puede representar un observable en QM? ¿Qué otras propiedades tienen las matrices hermitianas, de las que carecen (por ejemplo) las matrices triangulares, que las hacen deseables para este propósito?

Answer 1

Uno de los problemas $3\times 3$ ejemplo de matriz es que los eigenspaces son no ortogonal.

Por tanto, no tiene sentido decir que uno ha medido con un 100% de certeza que el sistema está en algún eigespacio pero no en los otros, porque puede haber una superposición no nula a un eigespacio diferente.

Se puede probar $^{1}$ que un operador es hermitiano si y sólo si es diagonalizable en una base ortonormal con valores propios reales. Véase también este Correo de Phys.SE.

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$^{1}$ Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta.

Answer 2

Si quiere ver algo diferente, hay en realidad unos cuantos artículos de Carl Bender que desarrollan la mecánica cuántica formulada con operadores simétricos de paridad-tiempo. Demuestra que algunos hamiltonianos no son hermitianos, pero tienen valores propios reales y parecen representar sistemas físicos válidos. Si lo piensas, el requisito de que tu operador sea simétrico paridad-tiempo tiene más sentido físicamente que la hermiticidad. En un artículo posterior, se demostró que su enfoque de la mecánica cuántica es equivalente al estándar, en el que los operadores son hermitianos.

Si le interesa, puede leer http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052

Answer 3

Para dar una respuesta un poco más general de lo que preguntas se me ocurren tres razones para tener operadores hermitianos en la teoría cuántica:

1) La teoría cuántica se basa en las transformadas unitarias, para las simetrías, los cambios de base o la evolución temporal. Las transformadas unitarias son generadas por operadores hermitianos como en $U=\exp(iH)$ . Y las representaciones unitarias de grupos de Lie vienen con un álgebra de Lie de operadores hermitianos.

2) Los resultados de las mediciones se toman de un conjunto de estados ortogonales con valores de medición reales. Esta estructura puede representarse eficientemente mediante un operador hermitiano con una estructura propia que cumpla estos requisitos con precisión.

3) Las representaciones de estado de subsistemas y conjuntos conducen a operadores hermitianos. En el caso de los conjuntos, esto se deduce de la construcción como suma convexa de proyectores, que son necesariamente hermitianos. Para los estados de subsistemas resulta de trazar un proyector sobre espacios factoriales tensoriales. Esto está relacionado con el punto 2) porque procesos como la decoherencia conectan los resultados de las mediciones con los operadores de densidad.

Answer 4

El sentido de los estados propios y de toda el álgebra lineal de la mecánica cuántica es que las proyecciones $\langle\phi|\psi\rangle$ del estado $|\psi\rangle$ en cada estado propio $|\phi\rangle$ representan las amplitudes de probabilidad de cada estado propio. En particular, esto significa:

$$\sum |\langle\phi|\psi\rangle|^2 = 1=|\langle\psi|\psi\rangle|^2$$

Donde la suma se toma sobre todos los estados propios de un operador. Como esto debe ser cierto para todos los estados $|\psi\rangle$ lo de la izquierda debe ser una suma pitagórica, así que el $|\phi\rangle$ s deben formar una base ortogonal. Alternativamente, uno puede simplemente notar que debemos tener $\langle \phi_1|\phi_2\rangle=0$ si los valores propios correspondientes son distintos, ya que dos observaciones distintas deben ser mutuamente excluyentes.

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Eso demuestra que las matrices deben ser normales. Que sean hermitianas no es esencial, pero sí útil, como ya se ha dicho.