Cómo resolver esto para encontrar el Espacio Nulo

Question

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Lo que yo hice :

Pongo esto en una reducción de la fila echleon forma:

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Está claro que el $r(M)=2$ , debido a que hay dos independientes filas.

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Ahora para el espacio nulo, me escribió las ecuaciones de la reducción de la fila Echleon forma:

$$x-2y+2z+4t=0$$

$$z+t=0$$

Me parece que no puede escribir $x$ $y$ por separado en términos de$z$$t$. Cualquier Sugerencias?

Answer 1

Escribir el sistema

$$\left\{\begin{array}{rcl} x-2y+2z+4t& =& 0 \\ z+t & = & 0\end{array}\right.$$

como

$$\left\{\begin{array}{rcl} x+2z& =& 2y-4t \\ z & = & -t\end{array}\right.$$ y resolverlo. Usted obtener,

$$\left\{\begin{array}{rcl} x& =& 2y-2t \\ z & = & -t\end{array}\right.$$ That is, $$(2y-2t,y,-t,t)$$ is an element of the null space for any $y,t.$ Ahora, busque dos vectores linealmente independientes.

(Tenga en cuenta que el kernel tiene dimensión $2.$ por Lo que el sistema tiene infinidad de soluciones que dependen de dos parámetros.)

Answer 2

Hacer al revés también la eliminación: $$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Ahora las ecuaciones leer $$ \begin{cases} x_1=2x_2-2x_4\\ x_3=-x_4 \end{casos} $$ Usted obtener dos vectores linealmente independientes en el espacio nulo mediante el establecimiento $x_2=1, x_4=0$$x_2=0,x_4=1$, por lo que la base está dada por $$ \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} $$

Answer 3

Sólo para hacer la respuesta un poco más de algoritmos: un "pivote" de entrada es una entrada que es el primer no-cero de la entrada en su fila. Una "columna pivote" es una columna que contiene un pivote de entrada. En su matriz, las columnas 1 y 3 son columnas dinámicas.

Nombre de las variables después de las columnas como lo hizo (lo, $x, y, z, w$). A continuación, las `variables" son los que no se producen en columnas dinámicas. En su caso, estas son las $y$$w$. El resto de filas de la matriz expresa de la envolvente de las variables en términos de las variables libres.

Answer 4

Primer caso: $z=t=0$, se puede obtener $x-2y=0$. Una de las soluciones es el vector de la $(2,1,0,0)$.

Segundo caso: $z=-t=1$, lo que le da la ecuación de $x-2y=2$, lo que le da, por ejemplo, $(2,0,1,-1)$.

Answer 5

Escribir $z = -t$ y la puso en su primera ecuación. Usted recibirá $x = 2y + 6t$, después de la simplificación. Escribir $$(x,y,z,t)' = y(2 , 1 , 0 , 0)' + t(6, 0, -1, 1)'$$. Now consider $y$ and $t$ en algún campo. Esto te dará todas las soluciones.