El plano está dividido en parábolas (cada punto pertenece exactamente a una parábola). ¿Se deduce de ¿se deduce que sus ejes tienen la misma dirección?
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Tom Wijsman
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Lema 1: Si la parábola A está dentro de la parábola B, entonces A y B deben tener ejes paralelos.
("Dentro de B" significa en el lado hacia el que B se curva, es decir, el casco convexo de B es B y su "interior").
Al alejar el zoom, una parábola se parece cada vez más a un rayo. Por ejemplo, si miramos $y=x^2$ y, a continuación, se aleja por un factor de 100 (es decir $y_{zoom}=y/100$ y $x_{zoom}=x/100$ ) lo convierte en $y_{zoom}=100x_{zoom}^2$ .
Si el eje de A no es paralelo al de B, entonces si nos alejamos lo suficiente, veremos que A sale del interior de B. Pero como A y B no comparten ningún punto, esto no puede ocurrir, por lo que el eje de A debe ser, de hecho, paralelo al de B.
(Desde el punto de vista proyectivo, tener ejes no paralelos significa tocar diferentes puntos de la línea en el infinito, lo que claramente no puede ocurrir si uno está dentro del otro).
Regiones parabólicas
Dada una parábola $A$ en la partición del plano, que $R(A)$ sea la unión de todas las parábolas que contienen $A$ o están contenidos por $A$ . La noción de contención proporciona una ordenación de estas parábolas.
Si la región $R(A)$ es todo el plano, entonces por el lema 1 todos los ejes son paralelos.
Si la región $R(A)$ no es el plano entero, entonces (considerando el supremum bajo la ordenación) debe ser convexo con una frontera parabólica (ya sea abierta o cerrada).
[[EDIT: $R(A)$ también podría ser un semiplano abierto. Si dos regiones son semiplanos abiertos, entonces ninguna parábola puede caber en el hueco que queda entre ellas, por lo que a lo sumo una región puede ser un semiplano abierto. El siguiente párrafo descarta incluso esta posibilidad (ya que aunque la región del semiplano abierto no es estrictamente convexa, las otras regiones sí lo son)].
Si es abierta (sin incluir su frontera parabólica), cada punto de la frontera debe ser miembro de otra región. Como las regiones son estrictamente convexas, no hay dos puntos en el límite que puedan ser miembros de la misma región, por lo que se necesita un número incontable de regiones. Sin embargo, como cada región incluye un punto racional en su interior, sólo puede haber un número contable de regiones. Por lo tanto, no puede haber una región abierta.
Una cuestión reducida
Así que la pregunta original se reduce a la cuestión de si es posible dividir el plano en regiones parabólicas cerradas convexas.
Esta partición no es posible. (Aquí seguiremos a Cantor y no a Sierpiński). Dado que podemos enumerar los puntos racionales, se obtiene una enumeración de las regiones parabólicas (ordenadas por el punto racional interior más antiguo). Esto nos permite definir una secuencia de intervalos abiertos decrecientes en una línea arbitraria: Empezando por cualquier intervalo I $_0$ que abarca varias regiones parabólicas, definimos el siguiente intervalo abierto I $_{n+1}$ como el intervalo entre las dos primeras regiones parabólicas (según la enumeración) que intersecan el intervalo I $_n$ .
Estos intervalos se encogen hacia un punto límite o un intervalo límite, y de cualquier manera proporciona un punto contenido en todos los intervalos. Este punto no puede estar en ninguna región parabólica -- la región parabólica habría aparecido en la enumeración y, por tanto, se habría utilizado en algún momento para reducir el intervalo.
Así que la respuesta a la pregunta reducida es no, no es posible dividir el plano en regiones parabólicas cerradas convexas.
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta original es sí, si el plano se divide en parábolas, entonces se deduce que sus ejes deben tener todos la misma dirección.
gagneet
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Sí, tienen una dirección de eje común.
Dado que dos parábolas cuya dirección difiere en una cantidad infinitesimal siempre se cruzan, las direcciones tienen que diferir en algún valor finito. Así que puedes considerar familias de parábolas con la misma dirección, y para éstas demostraré que los ejes tienen que coincidir, lo que a su vez conduce a parábolas que se intersecan.
Tenga en cuenta que no me preocupan demasiado las líneas de límite entre las diferentes familias. Según tu pregunta, cada uno de esos puntos del límite debería pertenecer a una de sus familias adyacentes, pero yo no hago esa suposición. Si haces valer esa suposición, algunas contradicciones serán aún más fáciles de demostrar. Mi demostración debería seguir funcionando si se permite un conjunto de puntos de medida cero que no pertenezcan a ninguna parábola, lo cual es un requisito más general.
Hago dos intentos de explicar por qué las parábolas de una misma familia deben intersecarse, uno menos y otro más proyectivo.
Explicación no proyectiva
Supongamos que tienes diferentes direcciones para tus ejes. Toma dos de tal manera que no haya ninguna otra dirección entre ellos. Considera el área entre estos dos ejes. Una parábola que pase por un punto allí se curvará hacia la izquierda y pertenecerá a una parábola para el eje izquierdo, o se curvará hacia la derecha y pertenecerá a una parábola para el eje derecho. Esto se debe a que la curvatura no cambia de signo a lo largo de una parábola. Como las parábolas no se cruzan, el límite entre las dos familias no puede pertenecer a varias parábolas diferentes. Por lo tanto, la frontera tiene que tener la forma del límite de una de estas familias. Y el límite entre las parábolas que se curvan hacia la izquierda y hacia la derecha es una línea recta. Así que el límite entre las dos familias tiene que ser una línea recta.
Cuando te concentras en una dirección de un eje y la familia que lo acompaña, el mismo argumento se mantendrá también en el vecino en la otra dirección. Así que tenemos una familia de parábolas con la misma dirección del eje y delimitadas por rectas en ambos lados. Estas rectas tienen que ser tangentes para cada parábola de la familia. Si se conoce la dirección del eje, y se conocen dos tangentes, entonces sólo queda un parámetro para definir de forma única cada miembro de la familia. Por ejemplo, se puede utilizar la curvatura en el vértice como parámetro. Esa curvatura y la dirección del eje definen conjuntamente la parábola hasta la traslación, y con las dos tangentes conocidas la traslación queda determinada de forma única. Así que tienes una familia de parábolas de un parámetro. Hasta una transformación afín, esta familia tiene que tener el siguiente aspecto:
Como puedes ver, todas las parábolas se cruzan, así que esto es una contradicción con tu supuesta partición. Por lo tanto, no puede haber más de una dirección para los ejes de las parábolas.
Ahora sólo queda demostrar que dos ejes diferentes para la misma dirección también son imposibles. Lo dejaré como un ejercicio por ahora, agregaré más luego si encuentro el tiempo. Si alguien más quiere editar esta respuesta, siéntase libre de hacerlo.
Explicación proyectiva
Esta es la primera explicación que tuve. Aquí estoy pensando en esto en términos de geometría proyectiva, lo que podría ser la causa de mi elección de vocabulario. Una parábola en geometría proyectiva es una cónica que es tangente a la línea en el infinito. Su único punto infinito describe la dirección del eje de la parábola. Supongamos que hay dos parábolas diferentes en su familia con direcciones diferentes, y supongamos también que entre estas dos direcciones no hay otras convertidas por su familia. Entonces tendrías dos puntos diferentes en el infinito cubiertos por tu familia, y ninguno entre estos dos. En el plano, tendrías algunos puntos en los que las parábolas correspondientes se curvan hacia la izquierda para acabar en el punto inifinito izquierdo, y otros en los que se curvan hacia la derecha para acabar en el punto infinito derecho. Entre estos dos, tiene que haber puntos en los que no hay ninguna curva, es decir, una línea recta. Por lo tanto, el límite entre las parábolas con una dirección y las que tienen la otra dirección tiene que ser una línea recta.
Para una dirección dada, las parábolas asociadas están limitadas por una línea en ambos lados, ya que las direcciones son cíclicas. Así que se trata de una familia de cónicas que tienen tres tangentes en común, e incluso tienen también el punto de contacto de una tangente en común, ya que tienen una dirección común. Esto supone cuatro condiciones, o cuatro grados de libertad reales. Al elegir una cónica tiene cinco grados de libertad, por lo que su familia es de un parámetro. Después de una transformación proyectiva, tiene que tener este aspecto:
El punto rojo representa el punto en el infinito, las líneas negras son las tangentes comunes. Como puedes ver, estas cónicas se cruzan. No hay elección, por lo que la suposición de diferentes direcciones conduce a una contradicción con la supuesta partición.
La demostración de que dos ejes diferentes para la misma dirección son imposibles se dejó de nuevo como un ejercicio.
