La prueba de la irracionalidad de las raíces cuadradas sin el teorema fundamental de la aritmética

Question

Aquí está una primaria de la prueba (adaptado de Hardy es Un Curso de Matemáticas Puras) que para cualquier entero $k$, $\sqrt{k}$ es irracionales o integral.

1. Supongamos $\sqrt{k}$ es racional, $\sqrt{k} = \frac{m}{n}$, $m$ y $n$ no tienen ningún factor común.
2. A continuación, $m^2=kn^2$
3. Cada factor de $m^2$ debe dividir $kn^2$
4. Como $m$ $n$ no tienen ningún factor común, cada factor de $m^2$ debe dividir $k$
5. Por lo tanto $k = \lambda m^2,$ $\lambda \in \mathbb{Z}$
6. Por lo tanto $1 = \lambda n^2 \rightarrow \lambda = n = 1$
7. Por lo tanto $k=m^2$

Por lo $\sqrt{k}$ es irracionales o integral.

Q. E. D.

Mi pregunta se refiere a un paso en esta prueba, aquí presentes, y también en Hardy prueba paso 4. Llegamos a la conclusión de que, debido a $m$ $n$ no tienen factores comunes, todos los de $m^2$'s factores deben ser factores de $k$ - debido a que ninguno de ellos podrían ser factores de $n^2$. Hemos sutilmente utiliza el 'hecho' de aquí que:

La relativa primalidad de $m$ $n$ implica que la relación primalidad de $m^2$ $n^2$

Y aquí es donde estoy preocupado, porque no puedo precisar por qué esto debe ser verdadero. Además, esta declaración hemos asumido como "obvio" es tan fuerte como el conjunto de la prueba. De hecho, una forma débil de la contrapositivo es:

Si $m^2 = kn^2, k\in\mathbb{N}$ $m$ $n$ tienen un factor común.

Y directamente de este, si $k$ no es un cuadrado perfecto, a continuación, $\sqrt{k}$ es irracional.

Este es mi problema - no veo por qué la primera declaración en la que destacó por encima debe de ser verdad. Por supuesto, es obvio por el teorema fundamental de la aritmética, pero el conjunto de la prueba es evidente, desde el teorema fundamental de la aritmética!

¿Cómo puede usted probar el primer destacó declaración anterior sin FTOA?

Muchas gracias :)

Answer 1

Esa es una observación perceptiva. De hecho, la prueba de obras en los dominios más generales de Ufd, por ejemplo, se desprende de la monic caso de la Raíz Racional de la Prueba, es decir, funciona en todas las integralmente-dominios cerrados, que están lejos de ser Ufd. Pero vamos se ve más en las pruebas concretas que se dan. Se emplea $\rm\:(m,n)=1\:\Rightarrow\:(m^2,n^2)=1.\:$ Esto se desprende de un caso especial de Euclides del Lexema, a saber. $\rm\:(a,b) = 1 = (a,c)\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:(a,bc)=1.\:$ Es decir,$\rm\: a=m,\,b=n=c\:$ rendimientos $\rm\:(m,n^2)=1.\:$ Finalmente, $\rm\:a=n^2,\,b = m = c\:$ rendimientos $\rm\:(m^2,n^2) = 1.$

Este caso especial de Euclides el Lema es cierto en cualquier MCD de dominio, en particular, en cualquier unidad flash usb o cualquier Bezout de dominio. Pero es más débil, es decir, hay dominios de la satisfacción de esta identidad, que no son MCD dominios, es decir, donde algunos elementos no tienen dpc. De hecho, esto es equivalente a la de Gauss Lema, que el producto de polinomios primitivos es primitivo (o en el caso especial de grado $1$ polinomios). De hecho, si $\rm\:(m,n)=1\:$ $\rm\:m\,x\pm n\:$ es primitivo, por lo tanto así es $\rm\:(m\,x-n)\,(m\,x+n) = m^2\, x - n^2,\:$ por lo tanto $\rm\:(m^2,n^2) = 1.\:$ a Continuación es un extracto de mi lesión.matemáticas post en 2003/5/3 (ver aquí o aquí), que muestra las relaciones entre los distintos ámbitos estrechamente relacionados con el MCD de los dominios. Si usted desea entender precisamente la clase de los anillos de la satisfacción de dichas propiedades, a continuación, consulte los vínculos en dicho post, y también en google "root-cerrado" de los dominios.

Ha habido mucha estudio de dominios relacionados con la DPC dominios. A continuación están algunas de ellas, en orden creciente de generalidad.

PID: $\ \ $ todo ideal es principal

Bezout: $\ \ $ de todos los ideales (a,b) es la principal

GCD: $\ \ $ (x,y) := mcd(x,y) existe para todo x,y

SCH: $\ \ $ Schreier = pre-Schreier & integralmente cerrado

SCH0: $\ \ $ pre-Schreier: a|ac $\, \Rightarrow\, $ a = BC, B|b, C|c

D: $\ \ $ (a,b) = 1 y a|ac $\,\Rightarrow\,$ a|c

PP: $\ \ $ (a,b) = (a,c) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a,bc) = 1

GL: $\ \ $ Lema de Gauss: el producto de la primitiva de polígonos es primitivo

GL2: $\ \ $ Lema de Gauss tiene para todos los polígonos de grado 1

AP: $\ \ $ átomos son los principales [AP = PP restringido para atómica]

Desde atómica & AP $\,\Rightarrow\,$ UFD, la anulación de la anterior UFD $\,\Rightarrow\,$ AP ruta muestra que en la atómica de los dominios de todas estas propiedades (excepto PID, Bezout) el colapso, convirtiéndose en todo equivalente a la UFD.

También hay muchas propiedades conocidas equivalente a D, por ejemplo,

[a] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a|ac $\,\Rightarrow\,$ a|c

[b] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a,b|c $\,\Rightarrow\,$ ab|c

[c] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a)/\(b) = (ab)

[d] $\ \ $ (a,b) $\,\Rightarrow\,$ lcm(a,b) existe

[e] $\ \ $ a + b X irreductible $\,\Rightarrow\,$ prime para b $\ne$ 0 (deg = 1)

Answer 2

Ver mi papel, la Irracionalidad, a través de la buena ordenación, Gaceta Australiano de la Sociedad Matemática de 35 (2008) 121-125, disponible aquí, para pruebas sin la única factorización y un poco de historia.

Answer 3

La identidad de Bezout dice que dos números enteros $m, n$ son primos relativos si y sólo si podemos encontrar enteros $a, b$ tal que $$am + bn = 1.$$

El cuadrado de esta identidad le da $$a^2 m^2 + 2amn + b^2 n^2 = (a^2m - 2an)m + b^2 n^2 = 1$$

desde que llegamos a la conclusión de que $\gcd(m, n^2) = 1$. Cuadratura de nuevo da $\gcd(m^2, n^2) = 1$.

Tenga en cuenta que la identidad de Bezout se utiliza a menudo como un paso crucial en la prueba de factorización única. Está muy cerca de la afirmación de que $\mathbb{Z}$ es un director ideal de dominio, y es sencillo demostrar que el principal ideal de dominio de factorización única.

Más en general, en situaciones donde el mayor de los divisores comunes no siempre existen, la identidad de Bezout es la definición de ser relativamente primos.

Answer 4

Hay un hecho interesante, de "refinamiento", la cual es relativa a la única factorización:

Supongamos $ab=cd$. Entonces no existe$p,q,r,s$, de modo que $ab=pqrs=cd$, con $a=pq$, $b=rs$, $c=pr$, $d=qs$.