Es $\Bbb Q/\Bbb Z$ artiniano como $\Bbb Z$ -¿Módulo?

Question

Estoy confundido.

Es $\Bbb Q/\Bbb Z$ artiniano como $\Bbb Z$ -¿Módulo?

Sabemos que $\Bbb Z_{p^{\infty}} \subset \Bbb Q/\Bbb Z$ es artiniano. El siguiente argumento es cierto o no ?

$\mathbb Q / \mathbb Z$ (como $\mathbb Z$ -módulo): subgrupos de $\mathbb Q / \mathbb Z$ parecer $(\frac{1}{n})$ el subgrupo generado por $\frac1n$ . Si tenemos $(\frac1n) \supset (\frac1m)$ sabemos que $m$ divide $n$ por lo que si $(\frac{1}{n_1}) \supset (\frac{1}{n_2}) \supset \dots$ es una cadena decreciente se convierte finalmente en estacionaria porque sólo hay un número finito de divisores de $n_1$ . Por lo tanto $\mathbb Q / \mathbb Z$ es Artiniano.

Answer 1

A partir de todos los $\Bbb Q/\Bbb Z$ puede prohibir sucesivamente todas las fracciones cuyo denominador contenga un factor $2$ entonces los factores $3$ , $5$ etc. Esto da una cadena decreciente infinita, y el módulo no es Artiniano.

Answer 2

$\mathbb Q/\mathbb Z$ no es artiniano. Sea $L_i$ sea el subgrupo de $\mathbb Q$ consistente en todas las fracciones $m/n$ con $\gcd(m,n)=1$ y $n$ no contiene ninguna de las primeras $i$ números primos. Demostrar que $(L_i/\mathbb Z)_{i\ge 0}$ es una cadena estrictamente descendente de subgrupos.