analógica del principio de inclusión-exclusión

Question

Cuando enseño elementales de probabilidad para mi finitos de los estudiantes de matemáticas, un error común es confundir los conceptos de disjointness y la independencia. En algún momento pensé que podría ser útil para algunos estudiantes a señalar la analogía entre los dos conceptos implícitos por el siguiente par de frases:

• Para calcular la probabilidad de la unión de distintos eventos, agregar las probabilidades de los eventos.

• Para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos independientes, se multiplican las probabilidades de los eventos.

Yo también les enseñan es que cuando los eventos no son disjuntas, todavía se puede calcular la probabilidad de su unión mediante la aplicación del principio de inclusión-exclusión. De ahí la pregunta: ¿hay un útil analógica del principio de inclusión-exclusión para el cálculo de la probabilidad de la intersección de la no-eventos independientes?

Editar: Estoy incorporando la siguiente aclaración que hice en un comentario respondiendo a la respuesta de Anna Varvak:

En la inclusión-exclusión, uno alternativamente suma y resta de las intersecciones. Las intersecciones de medir el grado en que disjointness falla. Podemos escribir el lado derecho del Teorema de Bayes como alternativas de multiplicaciones y divisiones de algo, donde "algo" que mide el grado de independencia de la falla?

Answer 1

En la creencia de propagación existe una noción de inclusión-exclusión para el cómputo de la combinación de las distribuciones de probabilidad de un conjunto de variables, a partir de un conjunto de factores o marginales a través de subconjuntos de esas variables. Por ejemplo, supongamos que {X,Y,Z} es el conjunto de variables, y usted sabe que las probabilidades marginales p_X,Y(x,y) y p_Y,Z(y,z). Si estos dos son compatibles, entonces el marginal p_Y puede ser calculado en cualquiera de las formas

p_Y(y) = integral p_X,Y(x,y) dx = integral p_Y,Z(y,z) dz

A continuación, un máximo de entropía supongo que en la conjunta distrubución está dada por la inclusión-exclusión a través de subconjuntos de variables

p_X,Y,Z(x,y,z) = p_X,Y(x,y) p_Y,Z(x,y) / p_Y(y)

Usted puede tomar un vistazo a "la propagación de la Creencia" en la wikipedia, o el más tecnica artículo "la Construcción de la Energía Libre Aproximaciones y Generalizada la Creencia de Propagación de Algoritmos" por Yedidia, Freeman y Weiss, que utiliza inclusión-exclusión en el formulario de 'contar los números'.

Answer 2

Escritura de la B \ A para el evento "B ocurre pero no" (como en la diferencia de conjuntos) tenemos...

P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)

Sólo diversión con símbolos creo...

Answer 3

Supongo que un intento sería simplemente la inversa de la inclusión-exclusión de la ecuación.

Puesto que P(A unión B) = P(a) + P(B) - P(a intersect B) también tenemos

P(a intersect B) = P(a) + P(B) - P(a unión B)

Por supuesto, que ignora totalmente la analogía de la que desea hacer entre disjointness y la independencia.

Tal vez yo pueda tratar de revertir la ingeniería de algo. Sea P(A intersect B) = P(a)P(B)/f(a,B), donde f es la función de dar el factor desconocido. Vemos que f(a,B)=P(a)P(B)/P(a intersect B).

Para las tres de la variable de caso tenemos que P(a intersect B se cruzan C) = P(a)P(B)P(C) dividido por (f(a,B)f(a,C)f(B,C) tiempos de g(a,B,C). Conectar la fórmula para f(a,B), vemos que

P(a intersect B se cruzan C) = P(a intersect B)P(a intersect C)P(B cruzan C) dividido por (P(a)P(B)P(C)) los tiempos de g(a,B,C). Por lo que g es la intersección de tres vías veces el individuo probabilidades, dividido por el camino de dos intersecciones.

Debo admitir, yo no veo nada interesante patrón de desarrollo aquí con f y g, de la manera que lo hice en la inclusión-exclusión en el caso, pero tal vez alguien más lo hace?

Answer 4

Inclusión-exclusión no dependen de la independencia. Quieres

P(a unión B) = P(a) + P(B) - P(a intersect B).

Ahora, P(a intersect B) es P(a) P(B) si a y B son independientes. Pero que se mantiene incluso si a y B no son independientes. Usted puede volver a escribir como

P(a unión B) = P(a) + P(B) - P(a) P(B|A)

si sus estudiantes están de acuerdo con la probabilidad condicional.

Answer 5

Suena como el Teorema de Bayes, que en su formato intuitivo y es

P(a y B) = P(a) * P(B, dada Una) = P(B) * P(a, dado B)

Esto realmente es bastante intuitiva, y me parece que los estudiantes entienden muy fácilmente: para a y B a suceder, se puede describir de dos maneras: Una que pasa y, a continuación, B pasa (dado que ocurrió), o B sucede y, a continuación, Un pasa (dado que B ha sucedido).

Para más de dos eventos, existe la extendida el teorema de Bayes:

P(a y B) y C)) = P(a) * P(B, dado A) * P(C, dados a y B)