Matemática Telescópica

Question

Bill Dubuque ha respondido a varias preguntas por lo que indica que algún tipo de "telescópica" que está teniendo lugar. Ver este post y los enlaces proporcionados por el proyecto de Ley para obtener más información.

Nunca he oído hablar de "telescópica" hasta que he leído un par de respuestas por aquí por el proyecto de Ley que se refieren a este concepto. Parece bastante sencillo, básicamente se expanda algunos de expresión mediante la aritmética básica, hay un pequeño milagro y un montón de términos cancelar de manera sistemática, y entonces somos capaces de resolver el problema.

Supongo que "telescópica" en este sentido, era algo que yo siempre daba por sentado, y se considera un nivel bajo "truco" para guardar en mi bolsillo trasero. Sin embargo, considerando la importancia que Bill parece adjuntar a esta noción de telescópica, y teniendo en cuenta que tengo un gran respeto para el proyecto de Ley basado en el post por lo que he leído, me preguntaba si no estoy perdiendo algo sobre telescópica. No hay ningún artículo de wiki sobre el tema, y una búsqueda en Google me dirige a Bill respuestas en SE!

Por lo tanto, me gustaría preguntar:

1) ¿Qué intuitivo resultados puedo lograr con telescópicos?

2) ¿hay una buena referencia que sólo se describen telescópica y aplicaciones, o esto es un concepto demasiado estrecho para cualquier persona para escribir un artículo/libro como este?

3) Más trivialmente, que me estoy perdiendo algo acerca de lo que telescópica significa realmente? Si no, entonces ¿por qué es esta llamada telescópica, porque no veo qué tiene esto que ver con un telescopio?

Answer 1

1, 2) Telescópico es una de las ideas detrás de los algoritmos automáticamente demostrar hipergeométrica identidades. Estos algoritmos permiten, por ejemplo, automáticamente demostrar coeficiente binomial identidades. El estándar de referencia aquí es Petkovsek, Wilf, y Zeilberger del A=B.

3) El nombre proviene de que el proceso de colapso de un telescopio, el cual es análogo al colapso de una suma telescópica.

Filosóficamente telescópica es el mismo como "discreta integración": telescópica una suma $\sum f(n)$ es la misma como la búsqueda de $g(n)$ tal que $f(n) = g(n+1) - g(n)$. En ese sentido es parte de la teoría de las diferencias finitas, aunque la gente probablemente no lo llaman "telescópica" en este contexto. El contexto en el que escucho el término "telescópica" que se utiliza es de alta escuela concursos de matemáticas. Es una de esas ideas básicas que todo el mundo tiene en la parte de atrás de su cabeza, supongo. Es elemental y eficaz cuando se aplica, pero por lo general hay métodos más sofisticados disponibles.

Edit: Algunos ejemplos concretos. El ur-ejemplo de una suma telescópica es probablemente

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$

y muchas personas han visto esta aplicación, pero probablemente mucho menos han visto su generalización:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)...(k+r)} = \frac{1}{r} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k(k+1)...(k+r-1)} - \frac{1}{(k+1)...(k+r)} \right) = \frac{1}{r} \left( \frac{1}{r!} - \frac{n!}{(n+r)!} \right).$$

El otro clásico ejemplo que recuerdo de mis días de competición es

$$\sum_{k=1}^n \frac{k}{k^4 - k^2 + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k^2 - k + 1} - \frac{1}{(k+1)^2 - (k+1) + 1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n^2 + n + 1} \right)$$

aunque tengo que admitir que siempre me pareció un poco artificial. Finalmente, telescópico fue puesto a buen uso para resolver esto de matemáticas.SE pregunta que me plantea.

Answer 2

El libro, A=B, por Petkovsek, Wilf y Zeilberger es una extensa exposición de la Wilf-Zeilberger método para sumar la serie a menudo llamado "creative telescópica".