Ideal en compacto de Hausdorff espacio

Question

Este es el ejercicio de los 70, en el capítulo 4. de Folland (página 142)

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio. Un ideal en $C(X, \mathbb{R})$ es una subalgebra $J$ de $C(X, \mathbb{R})$ que si $f\in J$$g\in C(X, \mathbb{R})$$fg\in J$.

1. Si $J$ es un ideal en el $C(X, \mathbb{R})$, vamos a $h(J) = \{x \in X: f(x) = 0,\ \forall f \in J\}$. A continuación, $h(J)$ es un subconjunto cerrado de $X$, llamado el casco de $J$.
2. Si $E\subset X$, vamos a $k(E)=\{f \in C(X, \mathbb{R}) : f(x)=0,\ \forall x \in E\}$. A continuación, $k(E)$ es un cerrado ideal en $C(X, \mathbb{R})$, llama el núcleo de $E$.
3. Si $E\subset X$,$h(k(E)) =\overline{E}$.
4. Si $J$ es un ideal en el $C(X, \mathbb{R})$$k(h(J))=\overline{J}$. (Sugerencia: $k(h(J))$ puede ser identificado con una subalgebra de $C_0(U, \mathbb{R})$ donde $U=X\setminus h(J)$)

Me las he arreglado para probar las asignaciones de 1-3. En (4)

si $f$ es de$J$, a continuación, para cada una de las $y\in h(J)$$f(y)=0$, entonces debe ser $f\in k(h(J))$. Desde $k(h(J))$ es cerrado, también se $\overline J\subset k(h(J))$.

De otra manera, he probado la pista ($k(h(J))$ puede ser identificado con una subalgebra de $C_0(U, \mathbb{R})$ donde $U=X\setminus h(J)$), el uso de algunos corolario fo Stone-Weierstrass), pero no entiendo cómo hacer la conexión entre los $C_0(X\setminus h(J), \mathbb{R})$ $\overline{J}$

CUALQUIER AYUDA SE AGRADECE.

P. S. Este es mi primer momento de efectuar la pregunta, pero he encontrado este sitio muy útil, así que gracias!

Answer 1

No sé, por el momento, de cómo utilizar la pista. Sin embargo, podemos tratar el siguiente.

1. Fix$f\in k(h(J))$$\varepsilon>0$. Deje $K:=\{x\in X, |f(x)|\geqslant \varepsilon\}$. Por compacidad, podemos encontrar $g\in J$ no negativo tal que $g>0$$K$. De hecho, $K$ es compacto, y la intersección $\bigcap_{g\in J}g^{-1}(\{0\})\cap K$ está vacía, así que hay $g_1,\dots,g_n$ tal que $K\cap\bigcap_{j=1}^ng_j^{-1}(\{0\})\cap K$ está vacía. A continuación, tome $g:=\sum_{j=1}^ng_j^2$.

2. Deje $f_n(x):=\frac{f(x)}{\frac 1n+g(x)}g(x)$. Es un elemento de $J$ tal que $\lVert f_n-f\rVert\leqslant 2\varepsilon$.

Es también ejercicio 1.5.b) en los Elementos de Análisis Funcional, por F. Hirsch y G. Lacombe, Springer