¿Podemos encontrar esta raíz infinita en términos de función elemental?

Question

Sea $f(x)=\left(x+f(x+1)\right)^\frac{1}{x}$. ¿Cuál es el valor de $f(2)$? Más precisamente, ¿cómo encontrar el valor de $$\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\cdots}}}~?$$

Gracias.

Answer 1

Probablemente esté equivocado, pero si elevamos ambos lados a la potencia x: $$f(x+1) = (f(x))^x - x$$ Para $x = 0$ $$f(1) = (f(0))^0 - 0 = 1 - 0 = 1$$ Ahora, para $x = 1$ $$f(2) = (f(1))^1 - 1 = 1 - 1 = 0$$

Answer 2

Obtuve la respuesta como $\sqrt{3+2\sqrt[3]6}/\sqrt[6]{6}$. Tomé en cuenta que entre $1,\sqrt[2]2,\sqrt[3]3,\sqrt[4]4,…\sqrt[n]n$, …hasta infinito, ∛3 es el más grande. Y he utilizado la mejor aproximación para esto.