Si $f:U\to V$ es holomorfo y $f'(z)\neq 0$ para todos $z\in U$ entonces $f$ es localmente biyectiva.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Dejemos que $f:U\to V$ sea una función holomorfa tal que $f'(z)\neq 0$ para todos $z\in U$ . Demuestre que para todo $z_0\in U$ existe un disco $D_\varepsilon(z_0)\subseteq U$ tal que $f:D_\varepsilon(z_0)\to f(D_\varepsilon(z_0))$ es biyectiva.

Intento:

Estoy intentando utilizar el Teorema de Rouche, pero estoy atascado en un paso concreto. Sea $z_0\in U$ . Desde $f'(z_0)\neq 0$ hay un disco $D_r(z_0)\subseteq U$ tal que $$f(z)=f(z_0)+(z-z_0)h(z),\quad\forall z\in D_r(z_0)$$ donde $h$ es holomorfo en $D_r(z_0)$ y $h(z)\neq 0$ para todos $z\in D_r(z_0)$ .

Dejemos que $0<\varepsilon<r$ que se definirá más adelante y fijar $w\in D_\varepsilon(z_0)$ . Para demostrar que $f$ es inyectiva en $D_\varepsilon(z_0)$ es demostrar que la función $f(z)-f(w)$ tiene exactamente un cero en $D_\varepsilon(z_0)$ . Pero $$F(z):=(z-z_0)h(z)$$ tiene exactamente un cero en $D_\varepsilon(z_0)$ por lo que podríamos aplicar el Teorema de Rouche con $F$ y $$G(z):=f(z)-f(w)-(z-z_0)h(z)=f(z_0)-f(w)=-(w-z_0)h(w)$$ para concluir que $F$ y $F+G$ tienen el mismo número de ceros y por lo tanto $f$ es inyectiva. Pero eso significa que tenemos que encontrar $0<\varepsilon<r$ tal que $|G(z)|<|F(z)|$ en $\partial D_\varepsilon(z_0)$ . Es decir, $$|w-z_0||h(w)|<|z-z_0||h(z)|$$ para todos $w\in D_\varepsilon(z_0)$ y $z\in\partial D_\varepsilon(z_0)$ .

¿Podemos encontrar tal $\varepsilon>0$ ?

Parece intuitivo ya que si ampliamos $h$ en una serie de potencias en $z_0$ , $h(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ entonces $$|w-z_0||h(w)| = |w-z_0|\sum_{n=0}^\infty a_n|w-z_0|^n < |z-z_0|\sum_{n=0}^\infty a_n|z-z_0|^n.$$ para $w\in D_\varepsilon(z_0)$ y $z\in\partial D_\varepsilon(z_0)$ . Pero esto, por supuesto, no es una prueba.

Answer 1

De hecho esta pregunta no necesita el Teorema de Rouché porque conocemos la derivada no nula.

Vemos $\mathbb C$ como $\mathbb R^2$ . Entonces la matriz jacobiana de $f$ en $z$ es: $$\begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix},$$ donde $f'(z)=a+bi$ .

Obsérvese que se trata de la matriz de multiplicación por $a+bi$ en base a la norma.

El determinante es simplemente el cuadrado de la norma de $f'(z)$ que es distinto de cero, por supuesto. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la función inversa.

Una observación es que Rouché es extremadamente útil cuando no sabemos que la derivada es distinta de cero. Por ejemplo, en la demostración del teorema del mapa abierto y el hecho de que la función holomorfa inyectiva tiene una derivada distinta de cero.

Answer 2

Estoy tratando de usar el Teorema de Rouche ...

Este es un posible enfoque:

Si $f(z_0) = w_0$ y $f'(z_0) \ne 0$ entonces para un tamaño suficientemente pequeño $r > 0$ :

• $f'(z) \ne 0$ para $|z-z_0| \le r$ y
• $f(z) \ne w_0$ para $0 < |z-z_0| \le r$ .

Entonces $m = \min \{ |f(z) - w_0| : |z - z_0| = r \}$ es positivo, y para $|w-w_0| < m$ y $|z - z_0| = r$ $$ |(f(z) - w) - (f(z) - w_0)| = |w- w_0| < m \le |f(z) - w_0| \, . $$ Ahora Teorema de Rouché implica que $f(z) - w$ y $f(z) - w_0$ tienen el mismo número de ceros en $|z-z_0| < r$ .

De ello se desprende que $f$ asume cada valor $w$ con $|w-w_0| < m$ exactamente una vez en $|z-z_0| < r$ y por lo tanto es inyectiva en una vecindad de $z_0$ .

Answer 3

Puedes usar el teorema de la función inversa, mira aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem