Raíces de un polinomio complejo

Question

Deje $f(z)=a_0+\cdots+a_n z^n$ ser un complejo polinomio con $a_j = \alpha_j + i \beta_j$ ( $\alpha_j, \beta_j \in \mathbb{R}$ ). Deje $P(z)=\alpha_0 + \cdots + \alpha_n z^n$$Q(z)=\beta_0 + \cdots + \beta_n z^n$, por lo que el $f(z)=P(z)+iQ(z)$. Se supone que todas las raíces de $f$ están en el semiplano $\operatorname{Im} z > 0$.

¿Cómo se puede demostrar que todas las raíces de $P$ $Q$ son reales?

Answer 1

La idea es que cuando vaya a lo largo del eje real, $f(x)$ $n/2$ completa bucles alrededor de $0$, por lo que tiene que cruzar el eje horizontal $n$ veces (y lo mismo para el eje vertical).

Para hacer este preciso, integrar $f'(z)/f(z)$ a lo largo del bucle de $\gamma_R(t) = Re^{it}$$t \in [0; \pi]$, e $\gamma_R(t) = R\cos(t)$$t \in [\pi ; 2 \pi]$. Para $R$ lo suficientemente grande, el circuito contiene todas las raíces de $P$, por lo que el residuo teorema nos dice que la integral es $2in \pi$. Mientras tanto, como $R$ va al infinito, la integral en el semi-círculo de la parte converge a $ni \pi$

Por lo tanto, $\int_\mathbb{R} f'(x)/f(x) dx = ni \pi$. Esto significa que el argumento de la $f(x)$ se mueve por $n\pi$ mientras $x$ se mueve a lo largo del eje real.

Desde $\lim_{x \to \infty} \textrm{Arg}(f(x)) = \textrm{Arg}(a_n)$, el caso de al $a_n$ no es ni real ni puramente imaginario es fácil : $P(x)$ cruz de cada eje, al menos, $n$ veces para que el argumento para moverse por $n \pi$. Esto significa que $P$ $Q$ tiene al menos $n$ raíces en $\mathbb{R}$. Ya que son de grado $n$, ambos tienen su $n$ raíces en $\mathbb{R}$.

En el caso de que $a_n$ es real o puramente imaginario, significa que uno de los ejes es cruzar $n-1$ de veces, pero desde que la correspondiente polynom es de grado $n-1$, es de nuevo el caso de que ambos polynoms tiene todas sus raíces en $\mathbb{R}$.