Existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros, tal que $p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=4$$p(e) = 10$?

Question

Estoy tratando de probar el siguiente problema:

Demostrar que no existe ningún polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros, tales que $p(a) = p(b) = $ $p(c) = p(d) = 4$ y $p(e) = 10$ donde $a, b, c, d, e$ son enteros a sí mismos y son distintos.

Si $p(x)$ es el polinomio y $p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 4$ a continuación, tiene la forma $$p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+4.$$

Ahora yo no puedo entender cómo puedo demostrar que no existe ningún entero $e$ que $p(e) = 10$.

He intentado la construcción de varios polinomios en Mathematica (como la Interpolación de Lagrange polinomio) y yo siempre terminaba tener algo como $$p(x) = \frac{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}{\text{const}}+4$$ for a polynomial that interpolates points $(una,4), (b,4), (c,4), (d,4), (e,10)$.

No puedo encontrar un buen argumento que el polinomio $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+4$ siempre será dividida por algunos $\text{const}$ a satisfacer las $p(e)=10$ requisito, por lo tanto no hay tal polinomio con coeficientes enteros.

Alguien puede ayudar?

Answer 1

El problema es que, en general, los factores de $(e-a), (e-b), (e-c), (e-d)$ son demasiado grandes. Pero si somos cuidadosos, podemos encontrar ejemplos donde esto sucede. Por ejemplo, vamos a $a=-1$, $b=-2$, $c=1$, $d=3$, $e=0$. Entonces $$ p(x)=(x+1)(x+2)(x-1)(x-3)+4 $$ tiene los valores de $p(-1)=p(-2)=p(1)=p(3)=4$$p(0)=10$.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ La clave para demostrar que muchos de los problemas de este tipo son irresolubles es simplemente aplicar el Teorema de Factor $\rm\ x-y\ |\ p(x)-p(y)\ $ $\rm\:\mathbb Z[x,y]\ $ $\rm\:p(x)\in \mathbb Z[x]\:.\:$ Especializada $\rm\ x,y = m,n\in\mathbb Z\:$ podemos deducir que $\rm\: m-n\ |\ p(m)-p(n)\:$ $\rm\:\mathbb Z\:.\:$

Por ejemplo, considerando el ejemplo específico en Jyrki la respuesta, ya que la $\rm\:p(a) = 4\:$ $\rm\:a\ne 0\:$ podemos deducir que los $\rm\: a-0\ |\ p(a)-p(0) = 4-10\:,\:$ es decir $\rm\: a\:|\:6\:$ $\rm\:a\ne 0\:.\:$ de Estos episodios de la aritmética, las restricciones son suficientes para resolver el problema en muchos casos. Hace mucho tiempo yo una vez diseñado un problema basado en esto, combinado con el Pick del teorema que se fue sin resolver durante mucho tiempo hasta que alguien notó el truco (que era John H. Conway si la memoria sirve correcta - no es fácil tirar de la lana sobre los ojos!)