Ligadas gravitacionalmente sistemas en un universo en expansión

Question

Esto no es todavía una pregunta completa; más bien, estoy buscando una qual a nivel de pregunta y respuesta que describe un ligadas gravitacionalmente sistema en un universo en expansión. Ya que la qual nivel, esto necesita un muy simplificada del modelo, de preferencia en un marco Newtoniano (si es posible) que al menos muestra el espíritu de lo que sucede. Si no es posible, y hay algo importante principio de que cualquier modelo Newtoniano se pierda, que es probablemente la primera cosa que hay que señalar. De lo contrario, ...

Estoy pensando en un programa de instalación que se inicia algo como esto:

Un cuerpo de masa $m$ órbitas otro de masa $M \gg m$ (el origen) en un círculo de radio $R$ (y, en consecuencia, con un período de $T = 2 \pi \sqrt{ R^3 / GM }$). En el momento $t = 0$, el espacio comienza lentamente a ampliar en una constante de Hubble tasa de $H$ (donde "poco a poco" significa $HT \ll 1$, por lo que la expansión en un período, es insignificante en comparación con el radio orbital).

Ahora aquí es donde no estoy seguro de cómo frase el problema. Estoy pensando en lugar de algo así como la "perla en un polo" de los problemas. A continuación, el cordón se ha generalizado de Lagrange coordenadas relativas a una posición fija en el poste, pero que el polo está expandiendo de acuerdo a algunas funciones externas,$a(t)$, la métrica FLRW (Para una constante de Hubble de la tasa, $H = \dot a / a$$a(t) = e^{Ht}$). Así, podemos llamar a la cuenta de la distancia desde el origen en la "co-unidades de desplazamiento" el Lagrangiano de coordinar $q$. Entonces la distancia de la cuenta desde el origen es $d(t) = q(t) a(t)$, que nos da un tiempo dependiente de Lagrange.

Básicamente, necesito una versión en 3D de este que va a trabajar para las ligadas gravitacionalmente sistema descrito. También espero que el problema puede ser resuelto como un proceso adiabático, lo cual podría significar el cambio de coordenadas a ser alrededor de la posición original en relación a los más de un cuerpo masivo en el origen, en lugar de co-movimiento de coordenadas.

EDIT 1: no voy a decir que yo entendido completamente los detalles de Schirmer del trabajo, pero creo que uno de los grandes de comida para llevar de los puntos es que la expansión cosmológica daños a la estabilidad de órbitas circulares y las lleva a la decadencia. Terminé mi mano-waivey "Newtoniano" modelo de un sistema solar en un universo en expansión, y no creo que se capta la esencia de esta parte de la GR solución. El modelo tiene varias sensical propiedades:

• Hay una distancia en la que la envolvente soluciones son imposibles y los dos cuerpos están garantizados para ampliar lejos el uno del otro
• Hay todavía una órbita circular (no he comprobado que es estable) cuyo radio es modificado por un plazo que implican la constante de Hubble.
• El uso de energía solar parámetros, este cambio es completamente insignificante; es más grande (aunque pequeño) en una escala galáctica.

Aquí es el modelo:

Sin este factor de escala, el Lagrangiano sería $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{r}$$ Añadir el factor de escala, todos los cinética términos recogerá un factor de $e^{2Ht}$ y el potencial de un factor de $e^{-Ht}$: $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) e^{2Ht}+ \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ (No he añadido en cualquiera de los derivados de la factor de escala; esto significaría que yo era sólo el cambio de coordenadas y no agregar en un externamente controlado expansión del espacio). Ya que el problema es esféricamente simétrica, el momento angular total se conserva y el movimiento se encuentra en un plano (la expansión del espacio no cambiar esta) a $\theta = \pi/2$. Esto reduce el efectivo de Lagrange para $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 \right) e^{2Ht} + \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ Ahora vamos a cambiar las coordenadas de a $r = \eta e^{-Ht}$. Esto representa un punto de que es estacionaria con respecto al origen (es decir, el enorme cuerpo que el cuerpo más pequeño de las órbitas). A continuación,$\dot r e^{Ht}= \dot \eta - H \eta$, por lo que el Lagrangiano se convierte en $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left((\dot \eta - H \eta)^2 + \eta^2 \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{\eta}$$ Esto se parece a una de Lagrange que se ha modificado ligeramente por el parámetro de $H$. Después de estas manipulaciones, $\phi$ es todavía un cíclica de coordenadas, y su conjugado impulso $p_\phi = m\eta^2 \dot \phi = L$ es que aún se conserva. El impulso conjugado de a $\eta$ es $$p_{\eta} = m (\dot \eta - H \eta)$$ Así, la ecuación de movimiento para $\eta$ es $$m \frac{d}{dt} (\dot \eta - H \eta) = m (\ddot \eta - H \dot \eta) = - mH(\dot \eta - H \eta) + m \eta \dot \phi^2 - \frac{GMm}{\eta^2}$$ La cancelación de términos y sustituyendo en la ecuación de movimiento para $\phi$, esto se convierte en $$\ddot \eta = H^2 \eta + \frac{L^2}{m^2 \eta^3} - \frac{GM}{\eta^2}$$ Así, la expansión del espacio se muestra como una fuerza término proporcional a $\eta$. Para un gran $\eta_0$ tiempo $t = 0$, no es una solución $\eta(t) = \eta_0 e^{Ht}$ donde $\dot \eta = H \eta$ está de acuerdo con la ley de Hubble (el correspondiente comoving de coordenadas es $r(t) = \eta_0$). También hay un altamente inestable orbital solución para las grandes $\eta$, donde la fuerza gravitacional sólo los saldos de expansión cosmológica. Este nuevo término también se cambia la ubicación de la "órbita estable" un poco (no he comprobado que realmente es estable en esta situación). La ubicación de la órbita circular estable al $H = 0$ es $$\eta_0 = \frac{L^2}{GMm^2}$$ A continuación, vamos a $$\eta = \eta_0 + \delta \eta = \eta_0 \left( 1 + \frac{\delta \eta}{\eta_0} \right)$$ A menor orden, el cambio en la ubicación de la órbita estable es $$\frac{\delta \eta}{\eta_0} = \frac{H^2}{GM/\eta_0^3 - H^2}$$ Para la órbita de la tierra alrededor del sol, este cambio sería completamente insignificante - de unos 15 pm. Tomar la masa a la masa de la vía Láctea y la distancia a la distancia del Sol del centro, el cambio sería un poco más grande - una cantidad fraccionaria de unos 2e-7, que es de varios cientos de AU - pero todavía en gran parte en pequeña.

Answer 1

Escribí un documento inédito sobre esto una vez, y presentó el cartel en una reunión de la AAS. Usted puede realmente hacer algo relativamente sencillo de construcción del modelo con esto si nos fijamos en Schwarzschild-de Sitter soluciones de la ecuación de Einstein.${}^{1}$

Una vez que usted tiene la solución exacta, a continuación, puede ver en órbitas circulares, y hacer el habitual análisis de la estabilidad que se utiliza para derivar la $r > 6M$ límite que se obtiene en la solución de Schwarzschild. Lo que encontramos es que, en el Schwarzschild-de Sitter solución, obtendrá una ecuación cúbica. Una solución le dará un $r < 0$ valor, que no físico, pero usted también tendrá íntima estable órbita circular y un ultraperiféricas estable órbita circular. El segundo representa a la materia saliéndose del cuerpo central por la cosmología.

También existen soluciones exactas que implican universos con un valor distinto de cero densidades de la materia distinta de la constante cosmológica con una central gravitando cuerpo. Estas soluciones de forma genérica no tiene un timelike matar vector ni globalmente estable de las órbitas. Corrí simulaciones numéricas de estas órbitas y publicado en mi tesis doctoral apéndices.

EDIT: intercambio de la pila parece ser la matanza de links, pero busca mi nombre en el arxiv si usted está interesado.

${}^{1}$EDIT 2: usted puede encontrar el Schwarzschild-de Sitter solución por sustitución de $1 - \frac{2M}{r}$ a todas partes con $1-\frac{2M}{r} - \frac{1}{3}\Lambda r^{2}$. Debe ser lo suficientemente fácil para probar que la solución satisface la ecuación de Einstein para el vacío más constante cosmológica.