Común de la prueba de la sencillez de $A_5$ procede de la siguiente manera.
En primer lugar, tenga en cuenta que un subgrupo normal es siempre una unión de clases conjugacy. Además, un subgrupo de orden dividiendo el tamaño del grupo, del teorema de Lagrange. Cualquier subgrupo normal contendrá la clase conjugacy con la identidad. Ahora bien, si nos fijamos en los sindicatos de clases conjugacy de $A_5$ donde se incluyen los $\{(1)\}$ en la unión, sólo hay dos casos en los que el tamaño de la unión divide el orden de $A_5$. Estos son los casos en donde la unión de todos los de $A_5$ o sólo $\{(1)\}$. Por lo tanto $A_5$ debe ser simple.
Esta misma prueba también funciona para $A_6$. Pero, en general, no se deduce de la simplicidad de $A_n$ $n \geq 5$ con la misma prueba. De acuerdo a este artículo resulta que por ejemplo, $1 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ divide $n!/2$ al $n = 68$. Tenga en cuenta que $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ es el tamaño de la clase conjugacy de $3$-ciclos en $A_n$ al $n \geq 5$.
Pregunta: Es $n = 68$ el menor entero positivo que la prueba falla? En el artículo dicen que "parece ser el más pequeño contraejemplo". Sin embargo, el conteo de todas las posibles sumas de clases conjugacy de $A_n$ se vuelve computacionalmente difícil muy rápidamente (como se indica en el artículo). Por lo tanto demostrando realmente, esto podría ser difícil.
