¿Cuál es el mayor entero que divide $p^4-1$ para cada número primo $p$ mayor que $5$?

Question

¿Cuál es el mayor entero que divide $p^4-1$ para cada número primo $p > 5$? Esto fue en una práctica matemática GRE así que probablemente sea realmente fácil.

Answer 1

Supongo que esto es más de un método de fuerza bruta. Por FlT, usted sabe $p^4\equiv 1\pmod{5}$, lo $5$ es un factor. También, factoring, se obtiene

$$p^4-1=(p-1)(p+1)(p^2+1),$$

y desde $p$ es impar, cada factor es divisible por $2$. Por otra parte, uno de los factores $p-1$ o $p+1$ es divisible por $4$, lo $4\cdot2\cdot 2=16$ es otro factor. Finalmente, de los tres números enteros consecutivos, $p-1$, $p$, y $p+1$, $3$ es un factor de uno. Desde $p$ es el primer y más grande que $5$, $3\nmid p$, por lo $3|p^4-1$. Por lo tanto $16\cdot 3\cdot 5=240$ es un factor de $p^4-1$ para cualquier prime $p\gt 5$.

Queda por ver que $240$ es el mayor ejemplo del divisor. Esto se puede confirmar observando $7^4-1=2400$$11^4-1=14640$.

Answer 2

$\rm\:p\nmid p^4-1\:$ $\rm\:2,3,5\:$ son la única posibilidad de primos divisores. $240$ es el máximo producto de este tipo desde $11^4-1 = 122\cdot 120 = 2^4\cdot3\cdot5\cdot 61\:.$ Ahora, como he mencionado en el sci.matemáticas en Sep 1, de 2003, para cada n coprime a $\:2,3,5\:,\:$ por lo tanto, ciertamente, para cada primer > $5$, $\rm\:n^4 \equiv 1\ (mod\ 240)\:$ desde $240$ ha Carmichael función lambda $\rm\:\lambda(240) = \lambda(2^4\cdot3\cdot 5) = lcm(2^{4-2},\phi(3),\phi(5)) = 4\:.$

Véase también mi post sobre Carmichael las generalizaciones de poco Fermat y Euler del phi de la función, y muchas de las aplicaciones de este tipo en anteriores posts. Es bien vale la pena aprender estas generalizaciones, ya que son omnipresentes en la teoría de números.

Answer 3

Deje $n$ ser el número. A continuación, los únicos factores primos de a $n$ son 2,3,5, porque cualquier otro número primo $p$ no divide $p^4-1$.

Por lo $n=2^a3^b5^c$, y usando el hecho de que $p^2-1 \cong 1 mod 24$, $p^2+1$ es incluso y $p^4 \cong 1 \mod 5$, la respuesta es fácil..

Para terminar:

Si $p=5 mod 8$ (13 obras), a continuación,$p+1, p^2+1$$2 \mod 4$$P-1 = 4 mod 8$, lo $a \leq 4$.

Si $p= 4 mod 9$ (de nuevo en 13 obras) $p^2-1= 6 \mod 9$$p^2+1 =8 \mod 9$$b \leq 1$.

Si $p= 6 \mod 25$,$p^2-1= 10 \mod 25$$p^2-1= 10 \mod 25$$c \leq 1$. Creo que en realidad $p=7$ funciona mejor, en este caso....