¿Cómo cortar las cebollas en una matemáticamente de manera eficiente?

Question

Tal vez una de matemáticas de grado y de cocina no van de la mano, pero esperemos que de hacer.

He estado pensando acerca de este problema durante algún tiempo, cuando en la cocina sin hacer ningún progreso real: ¿Cómo cortar las cebollas en una matemáticamente de manera eficiente?

Para simplificar, vamos a suponer que la cebolla es perfectamente esférica con un radio de $r$, que consta de $n$ capas de espesor $d = \frac{r}{n}$. Cada corte se compone de un avión de $p_i$ ortogonal a los $xy$-plano (la tabla de cortar) intersección de algunas (o todas) de las piezas de la cebolla, dispuestos de alguna manera, la división.

El objetivo es, con una secuencia de cortes $\{p_i\}_{i=1}^{N}$, obtener la cebolla para que se componen de un conjunto de piezas (probablemente de forma irregular), de modo que todos ellos tienen un diámetro en la mayoría de los $M$. Por el diámetro de una pieza, nos referimos a la mayor distancia posible entre dos puntos de la pieza.

¿Cómo deben los recortes $p_1, p_2, p_3, \dots, p_N$ de la cebolla, de modo que este criterio se cumple (todas las piezas son lo suficientemente pequeños) y $N$ es tan pequeño como sea posible?

En otras palabras, no consideramos el tiempo a ser un problema, sólo el menor número de cortes. Puede reorganizar las piezas en cualquier forma que entre los cortes, ya que puedes especificar qué parte va a donde.

Creo que es justo suponer $d < M$, porque de lo contrario las piezas deben ser muy pequeños y uno podría usar una licuadora. Por supuesto, el modelo no es perfecto, ya tenemos una infinitamente largo cuchillo en un infinitamente grande de la tabla de cortar, pero ya que me parece que nunca se quede sin espacio en él, creo que está bien.

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Sí, esta pregunta es tan "grave" como suena, pero yo aprecio mucho sus opiniones sobre este. Doy la bienvenida a todo, desde ideas sobre cómo abordar el problema y bocetos de una estrategia óptima (soy un estudiante de Maestría en ciencias computacionales) para un completo soplado perfecto algoritmo.

Esto podría convertirse en un gran arrancador de la conversación.

Answer 1

Si podemos reorganizar las piezas de modo que entre los recortes, como los estados de cuestión, entonces bien podríamos organizar en una línea antes de cada corte, de modo que el corte se cruza cada pieza de la cebolla. Por la elección de cada pieza de la traducción perpendicular a la corte, podemos garantizar que se divide en dos partes de igual área. Por la elección de la pieza de la orientación, también podemos asegurar que ninguna de las piezas demasiado largo y flaco, de modo que el diámetro de una pieza de área $a$ es acotada arriba por $c\sqrt$, donde $c$ es una constante universal.

A continuación, es suficiente para obtener el área de cada pieza por debajo de los $M^2/c^2$. La superficie original de la pieza más grande es de $4\pi r^2$, y cada corte, se reduce a la mitad, para que podamos tener éxito en $\log_2(r^2/M^2)$ recortes, más una constante.

A la inversa argumento muestra que $\log_2(r^2/M^2)$ recortes, además de un constante son realmente necesarios.

Answer 2

Con cortes paralelos a lo largo de planos separados por 1/2cm en cada una de las tres dimensiones espaciales. En primer lugar, cortar la cebolla pelada por el medio. Segundo, poner la mitad en una superficie plana y, a partir de la (parte superior) extremo opuesto a la raíz, hacer varios cortes paralelos a la superficie de la mayoría de la manera en la cebolla (dejando un poco cerca de la raíz para mantenerlos juntos). En tercer lugar, desde la parte superior hacen varios paralelo cortes verticales perpendiculares a los anteriores recortes. Cuarto, de la 'top' terminar de cortar la cebolla por la realización de varias paralelo cortes en vertical perpendicular a los dos anteriores juegos de los recortes. Quinto, hacer lo mismo con la otra mitad.

Answer 3

Supuestos

• La cebolla es una esfera con un radio $r$, donde $r > 0$
• La cebolla tiene $$ n capas, donde $n > 0$
• Cada capa es de espesor $h = \frac{r}{n}$
• Cada corte se compone de un avión de $p_i$ ortogonal a los $xy$-plano
• Cuando un corte que pasa los trozos de cebolla son todavía y dispuestos en la industria de la moda.

La Solución Debe

• Dejar que cada pieza con un diámetro menor que M, donde M > h
• Hacerlo en el menor número de cortes

Nota, yo estoy usando la variable h en lugar de d porque d se utiliza a menudo para indicar el diámetro y era confuso para mí.

Vamos a suponer también el siguiente

• En cada capa, incluyendo el núcleo, con un corte que es necesario para reducir el diámetro de menos de M. O lo otro que acaba de salir de esa capa solo, y nosotros seguir aplicando el algoritmo.

• Nunca se me va a pelar/mover una capa de otra capa antes de cortar. En el ejemplo, si cortamos la cebolla en la mitad no me voy a salir del interior de la cebolla o girar alrededor de ellos o cualquier cosa. Esto es sólo para mantenerlo simple.

Básicamente, queremos ser capaz de encajar cada pieza de cebolla en el interior de una esfera de radio M. Usted sabe lo que encaja dentro de una esfera de radio M? Un cubo cuya más largo de la diagonal, c, satisface la siguiente condición $M \geq c\sqrt{3}$

Con el fin de reducir el diámetro < $M$ de todas las piezas que necesitamos para reducir todas las dimensiones de la cebolla (x,y,z). Un solo corte no reducir el diámetro de todos los trozos de cebolla.

Si fuéramos a cortar una cebolla por la mitad, cada mitad todavía tiene el mismo diámetro, tal como se define. Si cortamos de nuevo tanto la mitad en cuartos y luego, todavía no hemos reducido el diámetro como cada trimestre, todavía tiene un diámetro igual al diámetro original. Ahora si hacemos un tercer corte de cada cuña en la mitad, a continuación, hemos reducido el diámetro de $\sqrt{(2*\frac{r}{2})^2}$ para la capa más externa. (Y aún mejor para las capas internas)

Ahora, imagine poner el $\frac{1}{8}$ cebolla en su punto y mirando directamente hacia abajo. Ahora hay que hacer 3 cortes que son $\frac{2\pi}{3}$ radianes aparte en tres pedazos, de manera similar a un Mercedes emblema de la forma. A continuación, se le han reducido el diámetro de cada trimestre una vez más (simétricamente) por algún factor que no quiero calcular en el momento. Si el diámetro es mayor que $M$, a continuación, puede repetir por la configuración de cada uno de los restantes de la cuña en su punto de corte y en la misma forma.

La matemática se vuelve un poco desordenado en este punto, pero por varias veces en este proceso, entonces siempre se puede reducir el diámetro con tres cortes hasta que el diámetro es menor que $M$.

El punto es que (creo) con el fin de reducir el diámetro en la forma en que sus definido en este problema tendrá tres cortes, uno para cada dimensión. El algoritmo descrito siempre reducir el diámetro de cada tres cortes y resultado en piezas simétricas.

*Nota: Cada vez que usted está haciendo estos tres cortes, que se pueden apilar las cuñas en la parte superior de uno al otro para cortar todos ellos al mismo tiempo.