Demostrar que la suma de las raíces primitivas congruente a $\mu(p-1) \pmod{p}$

Question

Supongamos que $p$ es un primo. Demostrar que la suma de las raíces primitivas modulo $p$ es congruente a $\mu(p − 1) \pmod{p}$.

Answer 1

Si $g$ es una raíz primitiva de $p$, a continuación, Thm 10.9 de Apostol dice que la suma en cuestión, $S$, está dada por

$$S=\!\!\!\!\!\sum_{\substack{k=1\\(k,p-1)=1}}^{p-1}\!\!\!\!\!\!g^k=\sum_{k=1}^{p-1}g^k\sum_{\substack{d|k\\d|p-1}}\mu(d)=\sum_{d|p-1}\mu(d)\sum_{r=1}^{(p-1)/d}\!\!g^{rd}$$

El interior de la suma es congruente a $0$ si $d=p-1$ cuando es congruente a $1$.

Answer 2

Si $p - 1 = a^\alpha b^\beta c^\gamma ...$. Entonces si $A$ es un elemento de orden $a^\alpha$, $B$ es un elemento de orden $b^\beta$, etc. a continuación, ABC... es una raíz primitiva.

Si a, A', A", etc. son los elementos de orden $a^\alpha$, B, B', B", etc. son los elementos de orden $b^\beta$, luego

(A + a' + ...) (B + B' + ...) (C + C' + ...) ( ... ) es la suma de las raíces primitivas.

Ahora considere la suma de los términos en uno de los factores que, teniendo en cuenta el hecho de que si $k$ es el orden de $y$ $l$ es relativamente primer a$k$, $y^l$ también tiene orden de $k$.

Answer 3

Sea f(d) suma de los elementos de la u de orden d, y sea g(d) suma de los elementos de u cuya dth poderes son 1. Por lo tanto g pueden ser evaluados de una forma geométrica de la suma, y también tiene una expresión en términos de f que establece Möbius inversión para dar a f en términos de g, el ejercicio está solicitando f(p − 1), por lo que estamos por hacer. (Esta respuesta esencialmente repite los demás, pero tal vez la invocación de Möbius de la inversión en lugar de rehacer en medio de otras cosas, es ordenado.)